高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式当堂检测题

这是一份高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式当堂检测题，共4页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。

课程标准
(1)熟练掌握基本不等式及变形的应用．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(3)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)．❶
(2)ab≤(a+b2)2(a，b∈R)．❷
(3)(a+b2)2≤a2+b22(a，b∈R)．❸
(4)ba+ab≥2(且ab>0，a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
助 学 批 注
批注❶ 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
批注❷ a＋b为定值
批注❸ a2＋b2为定值．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为22.( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋1x-1≥2xx-1，所以函数y的最小值是2xx-1.( )
(4)若x∈R，则x2＋2＋1x2+2≥2.( )
2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为( )
A．12 B．14 C．18 D．116
3．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为( )
A．81 m2 B．36 m2
C．18 m2 D．9 m2
4．已知正数a、b，1a+2b＝1，则ab的最小值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 利用基本不等式求最值——拼凑法
例1 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x-5的最大值；
(2)已知0方法归纳
拼凑法求解最值的策略
先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．
巩固训练1 设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋4x+1的最小值为( )
A．43－1 B．43＋2
C．42＋1 D．6
题型2 利用基本不等式求最值——常值代换法“1”的代换
例2 (1)[2022·山西运城高一期末]若m＞0，n＞0，且m＋n＝2，则1m+2n的最小值为( )
A．3＋22 B．3+222
C．3 D．52
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
方法归纳
“1”的代换法求解最值的策略
通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
巩固训练2 若正实数x，y满足y(x－9)＝x，则x＋y的最小值为________．
题型 3利用基本不等式解决实际问题
例3
如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形ABCD，且其面积为24m2.(注：靠墙的部分不用彩带)
(1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过52 m，求BC的取值范围；
(2)当围成四个矩形的彩带总长最小时，求AB和BC的值，并求彩带总长的最小值．
方法归纳
利用基本不等式解决实际问题的步骤
巩固训练3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
第2课时 基本不等式的应用
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：由基本不等式可得2x＋y≥22xy，
即22xy≤1，
解得xy≤18，
当且仅当2x＝y，即x＝14，y＝12时，取等号．
答案：C
3．解析：设矩形的长为x(0＜x＜18)m，由题意，宽为(18－x)m，所以该菜园的面积为S＝(18－x)x，则由基本不等式得S＝(18－x)x≤18-x+x24＝81，当且仅当x＝9时取等号，所以该菜园面积的最大值为81 m2.
答案：A
4．解析：因为1a+2b＝1≥2 2ab，
所以ab≥8(当且仅当1a＝2b，即a＝2，b＝4时取等号)，
故ab的最小值为8.
答案：8
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵x<54，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋14x-5＝－(5－4x＋15-4x)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝15-4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝14×2x(1－2x)≤14×(2x+1-2x2)2＝14×14＝116.
∴当且仅当2x＝1－2x(0＜x＜12)，即x＝14时，ymax＝116.
巩固训练1 解析：由题意x＞0，所以x＋1＞0，
所以y＝2＋3x＋4x+1＝2＋3(x＋1)－3＋4x+1
＝3(x＋1)＋4x+1－1≥2 3x+1·4x+1－1＝43－1，
当且仅当3(x＋1)＝4x+1，即x＝233－1＞0时等号成立，
所以函数y＝2＋3x＋4x+1的最小值为43－1.
答案：A
例2 解析：(1)由题意可得：1m+2n＝(1m+2n)(m+n2)＝32+n2m+mn≥32＋2n2m·mn＝32＋2 12＝3+222.
当且仅当m+n=2n2m=mn，即m=22-2n=4-22时等号成立．
据此可得1m+2n的最小值是3+222.
(2)由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)(15y+35x)＝95+45+3x5y+12y5x≥135+125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5.
答案：(1)B (2)5
巩固训练2 解析：由y(x－9)＝x，可得x＋9y＝xy，则1y+9x＝1，
∴x＋y＝(x＋y)(1y+9x)＝10＋xy+9yx≥10＋29＝16，当且仅当xy＝9yx，即x＝12，y＝4时等号成立．
答案：16
例3 解析：(1)设AB长为xm，BC长为ym，由题意得xy＝24⇒x＝24y，则四个矩形的彩带总长为6x＋4y＝144y＋4y≥2 144y·4y＝48，当且仅当y＝6时，取等号，又6x＋4y＝144y＋4y≤52，可解得4≤y≤9，即BC的取值范围为[4，9]
(2)四个矩形的彩带总长为6x＋4y＝144y＋4y≥2144y·4y＝48，当且仅当y＝6时，取等号，此时x＝4，y＝6，则AB的长为4，BC的长为6，彩带总长的最小值为48.
巩固训练3 解析：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋900x＋10 809≥2 9x·900x＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝900x，即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．