高中5.5 三角恒等变换课后测评

5.5.2　简单的三角恒等变换

课程标准

(1)能够综合运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换．(2)运用恒等变换进行化简、求值、证明．(3)会将a sinx＋b cos x化为只含有正弦的形式．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　半角公式❶

要点二　辅助角公式

a sin x＋b cos x＝____________，其中tan φ＝.

助 学 批 注

批注❶　若没有给出确定符号的条件，则要保留根号前的正负号；若给出角α的具体范围，则根号前的符号由角所在象限确定．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)cos ＝.(　　)

(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)

(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)

(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)

2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)

A．    B．－    C．±     D．±

3．已知π＜θ＜2π，且cos θ＝－，则tan 的值等于(　　)

A．－3    B．3    C．－    D．

4．函数y＝cos x＋sin x的最小正周期为____________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　应用半角公式求值

例1　已知sin θ＝，且<θ<3π，

求sin ，cos ，tan .

方法归纳

利用半角公式求值的步骤

巩固训练1　设α是第二象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，求cos .

题型 2　三角恒等式的证明

例2　求证：＝sin 2α.

方法归纳

证明三角恒等式的方法

对恒等式的证明，应遵循“化繁为简”的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一等方法．

巩固训练2　求证：－tan θ·tan 2θ＝1.

题型 3　利用辅助角公式研究三角函数的性质

例3　设函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx cos (x－)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调递减区间；

(3)求函数f(x)在闭区间[0，]内的最大值以及此时对应的x的值．

方法归纳

利用辅助角公式解决三角函数问题的步骤

巩固训练3　已知函数f(x)＝4cos x sin (x＋)－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－]上的最大值和最小值．

5.5.2　简单的三角恒等变换

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1－2sin2α　2cos2α－1　2α　α　1－2sin2　2cos2－1　±　±

要点二

·sin (x＋φ)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．解析：因为α∈(0，π)，所以∈(0，)．

所以cos ＝ ＝ ＝.

答案：A

3．解析：因为π＜θ＜2π，所以＜＜π

所以tan ＝－ ＝－ ＝－3.

答案：A

4．解析：y＝cos x＋sin x＝cos x＋sin x)＝sin (x＋)，

所以最小正周期为2π.

答案：2π

题型探究·课堂解透

例1　解析：∵sin θ＝<θ<3π，

∴cos θ＝－＝－.

∵<<，∴sin＝－ ＝－，

cos ＝－ ＝－，tan ＝＝2.

巩固训练1　解析：∵α是第二象限角，且sin <cos ，

∴为第三象限，∴cos <0，∵tan α＝－，

∴cos α＝－，∴cos ＝－ ＝－.

例2　证明：方法一　左边＝

＝＝

＝cos αsin cos

＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．

方法二　左边＝＝cos2α·

＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．

所以原式成立．

巩固训练2　证明：－tan θ·tan 2θ

＝＝

＝＝＝＝1.

例3　解析：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx cos (x－)

＝－cos 2x＋2cos x(cos x cos ＋sin x sin )

＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin 2x－cos 2x＋

＝sin (2x－)＋.

函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)令＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

函数f(x)的单调递减间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.

(3)因为0≤x≤，－≤2x－，所以－≤sin (2x－)≤1.

当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为.

巩固训练3　解析：(1)因为f(x)＝4cos x sin (x＋)－1

＝4cos x·(sin x＋cos x)－1

＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，

故f(x)最小正周期为π.

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.