江苏省南京市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份江苏省南京市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了椭圆的短轴的长是，若曲线在处的切线垂直于直线，则，函数在区间，上的大致图象为，已知，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试一．选择题（共8小题）1．椭圆的短轴的长是　　A．3 B．4 C．6 D．82．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段中点的横坐标为3，则等于　　A．2 B．4 C．6 D．83.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（   ）A．8 B．7 C．6 D．44．若曲线在处的切线垂直于直线，则　　A．4 B．3 C．2 D．15．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为　　A．191 B．193 C．195 D．1976．函数在区间，上的大致图象为　　7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．8．已知，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．二．多选题（共4小题）9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是　　A．函数在上递减，在上递减 B．函数在上递增，在上递增 C．函数有极大值（2）和极小值 D．函数有极大值和极小值（2）10.等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S12<S13,S13>S14,则下列命题中真命题的是（   ）A.公差d<0B. S15<S12C.a13是各项中最大的项D. S13是Sn中最大的值11．下列命题中是真命题有　　A．若，则是函数的极值点 B．函数的切线与函数可以有两个公共点 C．函数在处的切线方程为，则当△时， D．若函数的导数，且（1），则不等式的解集是12.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1=1,曲线Cn，，则下列说法中正确的是（    ）A．若q>0且q≠1，则Cn是椭圆 B．若存在，使得Cn表示离心率为的椭圆，则C．若存在，使得Cn表示渐近线方程x±2y=0的双曲线，则D．若q=-2，bn表示双曲线Cn的实轴长，则b1+b2+…..+b20=6138 三．填空题（共4小题）13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：　　．①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为．14．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是 　　米．15．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　．16．如图，抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于，两点，使得，又点在轴上的投影为，则　　．四．解答题（共6小题）17．在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若_____，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．18．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值．19．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．（1）若，求切线所在直线方程；（2）求的最小值．20．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．（Ⅰ）求数列的项；（Ⅱ）求数列的前项和．21．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．22．设函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若的最小值为0，证明：．
2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．椭圆的短轴的长是　　A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：椭圆的，，且焦点在轴上，可得椭圆的短轴长为，故选：．2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段中点的横坐标为3，则等于　　A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题设知知线段的中点到准线的距离为4，设，两点到准线的距离分别为，，由抛物线的定义知：．故选：．3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（   ）A．8 B．7 C．6 D．4【解答】4．若曲线在处的切线垂直于直线，则　　A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由，求导得，依题意曲线在处的切线垂直于直线，得，，即．故选：．5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为　　A．191 B．193 C．195 D．197【解答】解：设获得赠与的人数为人，第人赠与钱数为，则数列是等差数列，，公差，，解得，即获得赠与的人数为195，故选：．6．函数在区间，上的大致图象为　　【解答】解：根据题意，，其定义域为，设，其定义域为，有，即为奇函数，则的图象关于点对称，排除、两个选项，又由，当时，，，排除；故选：．7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，即，圆的圆心到此渐近线的距离，又圆被渐近线所截得的弦长为2，，即，右焦点到渐近线的距离，，到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，且右焦点是的中点，右焦点到渐近线的距离为，到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线，，，，双曲线的方程为，故选：．8．已知，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，函数是上的增函数，．而是上的减函数，．综上可得，，故选：．二．多选题（共4小题）9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是　　
 A．函数在上递减，在上递减 B．函数在上递增，在上递增 C．函数有极大值（2）和极小值 D．函数有极大值和极小值（2）【解答】解：由图可知，当时，，，所以，故在上单调递增；当时，，，所以，故在上单调递减；当时，，，所以，故在上单调递减；当时，，，所以，故在上单调递增，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，即函数有极大值和极小值（2）；故选：．10.等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S12<S13,S13>S14,则下列命题中真命题的是（   ）A.公差d<0B. S15<S12C. a13是各项中最大的项D. S13是Sn中最大的值【解答】解由S12<S13,S13>S14,，得a13>0,a14<0, d<0成立，各项中a1是最大的项，所以A正确，C错误。S15-S12=a15+a14+a13=3a14<0,B成立。故选ABD11．下列命题中是真命题有　　A．若，则是函数的极值点 B．函数的切线与函数可以有两个公共点 C．函数在处的切线方程为，则当△时，D．若函数的导数，且（1），则不等式的解集是【解答】解：对于：当函数时，，当时，，但是不是函数的极值点，故错误；对于：对于不规则的曲线，函数的切线可能与函数的图象有两个交点，故正确；对于：函数在处的切线方程为，所以，故，故错误；对于：设，则，由于，所以，所以函数单调递减，由于（1）（1），所以（1），故，即不等式的解集是，故正确；故选：．12.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1=1,曲线Cn，，则下列说法中正确的是（    ）A．若q>0且q≠1，则Cn是椭圆 B．若存在，使得Cn表示离心率为的椭圆，则C．若存在，使得Cn表示渐近线方程x±2y=0的双曲线，则D．若q=-2，bn表示双曲线Cn的实轴长，则b1+b2+…..+b20=6138【解答】因为q>0且q≠1，所以an>0, an-1>0, an-1≠an，所以Cn是椭圆A正确当Cn是椭圆时，q>0且q≠1，，若q>1，则an+1>an,e=.若0<q<1，则an+1<an，e=,所以B错误。当Cn表示双曲线，显然q<0,故双曲线Cn的一条渐近线方程为，故c正确。若q=-2，bn表示双曲线Cn的实轴长，当n为偶数时，an <0, an+1 >0,双曲线Cn的焦点在y轴上，则，当n为奇数时an >0, an+1 <0, 双曲线Cn的焦点在x轴上，则,所以b1+b2+…..+b20=4（）-2+=6138 ，D正确三．填空题（共4小题）13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：　（答案不唯一）　．①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为．【解答】解：由椭圆中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，可取在轴上（也可取在轴上），离心率，可取，，则．满足以上三个条件的一个椭圆为．故答案为：（答案不唯一）．14．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是 　　米．【解答】解：设第天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为，则数列是首项为，公比为的等比数列，则，故第5天截取的长度是米．故答案为：．15．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是　，　．【解答】解：在上是增函数，，，由基本不等式得：（当且仅当，即时取“” ，，，解得，故答案为：，，16．如图，抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于，两点，使得，又点在轴上的投影为，则　4　．【解答】解：抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于，两点，可得，设，，，，过焦点得，又，得在以为直径的圆上，故，而，得，得，，，，，，，，得又又，所以四点共圆，故故答案为：4．四．解答题（共6小题）17．在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若_____，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，，．（2）方案一：选条件①由（1），可得，则．方案二：选条件②由（1），可得，当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，．方案三：选条件③由（1），可得，则，，两式相减，可得，．15．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值．【解答】解：（1），则，，故曲线在处的切线方程，（2）由可得或，由可得，故函数的增区间：，，减区间，故当时，函数取得极大值，当时函数取得极小值（1）．16．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．（1）若，求切线所在直线方程；（2）求的最小值．【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得或，故所求切线方程为，；（2）连接，交于点，设，则，在中，，，，，． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．（Ⅰ）求数列的项；（Ⅱ）求数列的前项和．【解答】解：（1）由得，，两式相减得，因为数列为正项数列，所以，又，故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以．（2）由（1）知，，由及得故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以．所以．18．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得，椭圆的标准方程，椭圆的离心率．（Ⅱ）设，，，，则，，可设的直线方程为联立方程，整理得，，，，整理得，，，解得，的直线方程为：，直线恒过定点．19．设函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若的最小值为0，证明：．【解答】（1）解：函数的定义域为，，①当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；②当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；故当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：由（1）知，的最小值为（a），解得，于是当且时，（1），下面用数学归纳法证明，①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，当时，，不等式成立．由①②得