江苏省南京市燕子矶中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份江苏省南京市燕子矶中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了已知等比数列中，，，则，以下四个命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市燕子矶中学高二第一学期期末考试一．选择题（共8小题）1．已知等比数列中，，，则　　A．8 B．16 C．32 D．362．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为　　A．2 B． C． D．13．已知圆与圆相交于，两点，则两圆的公共弦　　A． B． C． D．24．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为　　A． B． C． D．12 5．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是　　A． B． C． D．6．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是　　A．， B． C． D．，7．已知数列的前项和为，，当时，，则等于　　A．1008 B．1009 C．1010 D．10118．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的范围是　　A． B． C． D．二．多选题（共4小题）9．设，，，是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为　　A．为定值 B．直线过抛物线的焦点 C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为410．以下四个命题为真命题的是　　A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是，， C．曲线与曲线恰有一条公切线，则 D．设是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点11．等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足．，，下列选项中，正确的结论有　　A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于19812．已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有　　A．函数在，上是增函数 B．函数的最小值为0 C．如果，时，，则的最小值为2 D．函数有2个零点三．填空题（共4小题）13．已知直线与垂直，则的值为 　　．14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为　 　．15．甲乙两地相距，汽车从甲地以速度匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以­­­­­­­­­________km/h速度行驶？16．若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为　 　．四．解答题（共6小题）17．已知点及圆．（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程．（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．18．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论的极值．19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．20．已知过圆上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：．21．已知数列为等差数列，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．22．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．
2022-2023学年南京市燕子矶中学高二第一学期期末考试参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知等比数列中，，，则　　A．8 B．16 C．32 D．36【解答】解：等比数列中，，，，解得，．故选：．2．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为　　A．2 B． C． D．1【解答】解：根据抛物线方程得：焦点坐标，直线的斜率为，由直线方程的点斜式方程，设将直线方程代入到抛物线方程当中，得：．设，，，由一元二次方程根与系数的关系得：．．弦长．故选：．3．已知圆与圆相交于，两点，则两圆的公共弦　　A． B． C． D．2【解答】解：圆与圆相交于，两点，整理得，所以直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以所截得弦长为，故选：．4．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为　　A． B． C． D．12 【解答】解：根据题意，设该抛物线的方程为，又由当水面离拱顶时，水面宽，即点和在抛物线上，则有，解可得，故抛物线的方程为，若水面下降，即，则有，解可得，此时水面宽度为，故选：．5．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知：的轨迹以，为焦点的双曲线且，，即轨迹方程为：， “好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：所以不是“好曲线”的是．故选：．6．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是　　A．， B． C． D．，【解答】解：如图所示，为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，，，向量的夹角为钝角时，，，又，；两边除以得，即；解得，又，，故选：．7．已知数列的前项和为，，当时，，则等于　　A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【解答】解：由题意可得，当时，，，两式作差可得，即，即当时，数列任意连续两项之和为1，据此可知，故选：．8．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的范围是　　A． B． C． D．【解答】解：因为不等式恒成立，，所以恒成立，设，则，因为，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故选：．二．多选题（共4小题）9．设，，，是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为　　A．为定值 B．直线过抛物线的焦点 C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4【解答】解：设直线方程为，，，，，将直线方程代入抛物线方程，焦点坐标得，则，，，，．于是直线方程为，该直线过定点．故正确；焦点坐标不满足直线方程，所以不正确；，．当且仅当时，取等号，最小值为16．所以正确；到直线的距离，当时，取得最大值4，即正确；故选：．10．以下四个命题为真命题的是　　A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是，， C．曲线与曲线恰有一条公切线，则 D．设是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点【解答】解：对于，设直线方程为，可得横截距为，纵截距为，，解得：或，直线方程为或，故错误；对于，由题设知直线的斜率，，直线的倾斜角的范围是，，，故正确；对于，曲线，曲线，它们恰有一条公切线，它们内切，圆心距，解得：，故错误；对于，设点，根据切线的性质，可得，经过，，三点的圆即为以为直径的圆，则圆的方程为，整理得：，令，解得：，或，即经过，，三点的圆必经过定点，，故正确，故选：．11．等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足．，，下列选项中，正确的结论有　　A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于198【解答】解：对于，，，．，．又，，且．，故正确；对于，，，即，故正确；对于，由于，而，故有，故错误；对于，，，故正确．不正确的是．故选：．12．已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有　　A．函数在，上是增函数 B．函数的最小值为0 C．如果，时，，则的最小值为2 D．函数有2个零点【解答】解：，当或时，，当时，，故在，上递减，在上递增，故正确；当时，，时，，故正确；当时，在，上递增，（2），不合题意；当时，（2），符合，当时，在，上递增，在，上递减，所以（2），综上时，，故的最小值为2，所以正确．令可得，所以只有一个零点，所以④正确．故选：．三．填空题（共4小题）13．已知直线与垂直，则的值为 　0或　．【解答】解：直线与垂直，，解得或，故答案为：0或．14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为　　．【解答】解：曲线，，（1），曲线在处的切线方程为，该切线与轴的交点的横坐标为，，，．故答案为：．15．甲乙两地相距，汽车从甲地以速度匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以­­­­­­­­­________km/h速度行驶？【解答】解：设全程运输成本为元，由题意，得，，．令，得．当时，；当时，．所以时，． 16．若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：椭圆左焦点，直线的倾斜角为，则斜率为，直线的方程为．联立，得．解得：，．，．即，即，解得：，故答案为：．四．解答题（共6小题）17．已知点及圆．（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程．（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线的斜率为存在），则方程为，即．又圆的圆心为，半径，由，解得．所以直线方程为，即．当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．综上所述，直线的方程为或；（2）把直线代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于，两点，故△，解得．则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在．由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率．而，所以．由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．18．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论的极值．【解答】解：（1）当时，，则，由，得或；由，得．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．（2），当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为（a），极小值为（1）；当时，，即在上单调递增，此时无极值；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为（1），极小值为（a）．综上，当时，的极大值为（a），极小值为（1）；当时，无极值；当时，的极大值为（1），极小值为（a）．19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【解答】解：（1）设的公差为，是递增的等差数列，，且，，成等比数列，所以，因为是递增，所以，故，所以，所以数列的通项公式为；证明：（2），因为数列的前项和为，所以，因为单调递减，所以单调递增，故当时，，而，故．20．已知过圆上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：．【解答】解：（1）设过点，的切线方程为，即，因为圆心到直线的距离等于半径，所以，解得，所以切线方程为，令，得，，令，得，．所以，，所以椭圆方程为：．（2）由（1）可知，设直线方程为：，，，，联立直线与椭圆的方程得：，，，，，，，，，，，，所以．21．已知数列为等差数列，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解答】解：（Ⅰ）数列为等差数列，，．设数列的首项为，公差为，则：，解得：，，故：，（Ⅱ）由于：，所以：，所以：，，．22．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．【解答】解：（1）当时，，（1）．，（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（2）当时，，当时，对任意的恒成立对任意的恒成立，，令，则函数在上单调递增，，（1）．存在唯一，，使得，，，．满足条件的实数的最小整数值为