内蒙古乌兰察布市化德县第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学（文）试题(含答案)

化德一中2022---2023年度第一学期高二数学（文）期末试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.等差数列中，，，则公差等于  (    )

A.  B.  C.  D.

2.在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则角等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列是全称量词命题且是真命题的为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，，

4.不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D. 或

5.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是(    )

A.  B.  C.  D.   

6.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.椭圆的左右焦点为，，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.   

8.设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为  (    )

A.  B.  C.  D.

9.已知函数，若等比数列满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.已知，，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若等差数列和等比数列满足，，则          ．

14.已知  则的最小值是_____________

15.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________．

16.已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为          ．

三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知是等比数列，，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若等差数列满足，，求的前项和．

18.本小题分
已知在中，角、、对应的边分别为、、，．
求角；
若，的面积为，求．
 

19.本小题分

已知关于的不等式，．

若，求不等式的解集；

若不等式的解集为，求的取值范围．

20.本小题分

已知抛物线．

求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；

过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长．

21.本小题分

已知数列满足，．

设，求证：是等比数列．

求数列的前项和．

22.本小题分

设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，

若，的周长为，求；

若，求椭圆的离心率．

化德一中2022---2023年度第一学期高二数学（文）期末试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    等差数列中，，，则公差等于  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，属于基础题．
由，可求结果．

【解答】

解：因为，所以，
所以，由
所以．
故选A．

2.    在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则角等于(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】
本题主要考查解三角形的应用，熟悉余弦定理公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题由余弦定理可得，进而求得．
【解答】
解：由余弦定理，得，
所以．
故选A．  

3.    下列是全称量词命题且是真命题的为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，，

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题及其真假的判断，属于基础题．
根据全称量词命题的定义，利用特殊值法即可一一判断．

【解答】

解：选项C为存在量词命题；、、为全称量词命题；
由于时，，故A为假命题；
任意有理数的平方都是有理数，故B为真命题；
由于时，，故D为假命题．
故选B．

4.    不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D. 或

【答案】

A 

【解析】

【分析】
本题考查分式不等式的解法，解答本题的关键是将分式不等式化为一元二次不等式．
由分母及不等式的性质，不等式可化为，整理得，解得原不等式的解集．
【解答】
解：因为，
原不等式可化为：，
即，即，
解得：，
不等式的解集为．
故选A．  

5.    焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是．(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了椭圆的标准方程，属于基础题．
依题意，得，，故，，即可得解．

【解答】

解：依题意，得，，故，，
故所求椭圆的标准方程是．
故选：．

6.    已知抛物线的准线与圆相切，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
写出准线方程，根据准线与圆相切，写出关于的方程，即可求出．

【解答】

解：抛物线的准线与圆相切，
，即．
故选C．

7.    椭圆的左右焦点为，，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义的应用，考查数形结合以及计算能力，属于基础题．
利用已知条件结合椭圆的定义，转化求解即可．

【解答】

解：
椭圆的左右焦点为，，
可得，，
为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，
如图：

则的周长为：
．
故选：．

8.    设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与的关系，可求双曲线的离心率．
方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求的离心率．

【解答】

解：方法一：设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，  ，
为以为直径的圆的半径，
为圆心，，
，又点在圆上，
，即，
，
故选A．
方法二：如图，以为直径的圆的方程为，

又圆的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，
即，
，解得．
故选A．

9.    已知函数，若等比数列满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】
本题考查函数值的求法，考查函数性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由函数，求出，由数列为等比数列，且得，从而，，由此能求出
【解答】
解：函数，
，
数列为等比数列，且．
，
，，
．
故选：．  

10. 已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】略

11. 已知，，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】利用乘“”法及及基本不等式计算可得．

解：因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为．

故选：

12. 在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．

解：，

由正弦定理得，

即，

由，

得，，

，，

即，即，则，

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若等差数列和等比数列满足，，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列以及等比数列的通项公式，是基础题．
利用等差数列求出公差，利用等比数列求出公比，然后分别求解第二项，即可得到结果．

【解答】

解：等差数列和等比数列满足，，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
可得，
，；
由，解得，
；
可得．
故答案为：．

14. 已知  则的最小值是_____________

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，其中分析目标函数的几何意义是解答的关键．
画出满足不等式组的可行域，进而分析目标函数的几何意义，通过数形结合，可得答案．
【解答】
解：满足不等式组的可行域如图所示：
目标函数的几何意义是坐标原点到平面区域内动点距离的平方，
由图形可知，到原点的距离最小，
由，解得，，即，
此时．
故答案为．  

15. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，涉及两直线的垂直，属于基础题．
由双曲线的标准方程得两条渐近线，两条渐近线互相垂直，则斜率之积为，求得的值． 

【解答】

解：双曲线的两条渐近线互相垂直， 
， 
，
．

16. 已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为          ．

【答案】

【解析】略

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知是等比数列，，．
    Ⅰ求的通项公式；
    Ⅱ若等差数列满足，，求的前项和．

【答案】

解：Ⅰ在等比数列，由，，，
得，；
Ⅱ，，
则等差数列的公差，
．
的前项和． 

【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，是基础题．
Ⅰ由已知求得等比数列的公比，再由通项公式可得的通项公式；
Ⅱ由Ⅰ求得，的值，进一步求出公差与首项，则的前项和可求．

18. 本小题分
    已知在中，角、、对应的边分别为、、，．
    求角；
    若，的面积为，求．

【答案】

解：由及正弦定理
可得，
由余弦定理可得，
又因为，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以是等边三角形，
所以． 

【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式建立方程是解决本题的关键．
根据正弦定理以及余弦定理建立方程进行求解即可．
根据三角形的面积公式进行计算即可．
 

19. 本小题分

已知关于的不等式，．

若，求不等式的解集；

若不等式的解集为，求的取值范围．

【答案】

解：因为，关于的不等化为，即，解集为，
关于的不等式的解集为分情况讨论，
当，即时，原不等式为，恒成立，
当，即时，，解得，
综上，故的取值范围为． 

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
将值代入不等式，解不等式即可，
分情况讨论，当，即时，代回原不等式，成立留，不成立舍；
当，即时，解集为，则，最后取两种情况的并集．
20.本小题分

已知抛物线．

求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；

过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长．

【答案】

 解：由题意，斜率不存在时，直线满足题意，

斜率存在时，设方程为，代入，可得，

当时，，满足题意，

当时，，，直线方程为，

综上，直线的方程为或或；

抛物线的焦点坐标为，

则过焦点作一条斜率为的直线方程为，

联立，解得或

不妨令，，．

【解析】本题考查直线与抛物线位置关系及求弦长，属基础题目．
结合已知联立方程，讨论是否为零，当时，，即可．
联立方程解交点，进而求弦长．

21.本小题分

已知数列满足，．

设，求证：是等比数列．

求数列的前项和．

【答案】

解：设，则

，

即，所以是等比数列

，，

所以．

【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式以及求和公式，以及构造数列法，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算和转化能力．

由原式两边减，整理并结合等比数列的定义，即可得证；

运用等比数列的通项公式和数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，即可得到结果．

22.本小题分

设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，

若，的周长为，求；

若，求椭圆的离心率．

【答案】

解：由，，

得，．

因为的周长为，

所以由椭圆定义可得，

．

故．

设，则，且，．

由椭圆定义可得，．

在中，由余弦定理可得，
即，
化简可得，
而，故．

于是有，．

因此，可得，

故为等腰直角三角形．

从而，

所以椭圆的离心率．

【解析】

【分析】此题主要考察的是椭圆的定义及简单的几何性质。通过余弦定理求出三角形的边的关系，再利用椭圆的简单几何性质得到，的关系，从而求出离心率是本题的破题关键。其中第小题属于容易题，第小题具有一般难度。
根据椭圆的定义，的周长为，容易求得
首先在中，已知，利用余弦定理求出三角形的边的关系得出角为直角，然后在等腰直角中容易得出，所以离心率．