人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精品练习

1.1.1空间向量及其线性运算（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：空间向量及相关概念的理解

重点题型二：空间向量的线性运算

重点题型三：空间共线向量定理及其应用

重点题型四：空间共面向量定理及其应用

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．

（2）几类特殊的空间向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；

（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.

知识点二：空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，

2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即

3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即

4、空间向量的加法运算律

（1）加法交换律：

（2）加法结合律：

知识点三：空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

2：数乘向量与向量的关系

3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：

（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．

（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．

（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．

知识点四：共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．

在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：

（1）零向量和空间任一向量是共线向量．

（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．

2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．

2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：

2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中

3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使

3.2空间共面向量的表示

如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．

或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

3.3拓展

对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．

1．判断正误

（1）若，则存在唯一的实数，使．(        )

（2）空间中任意三个向量一定是共面向量．(        )

【答案】     ×     ×

（1）当时，不成立；

（2）空间中任意三个向量不一定是共面向量，错误.

2．如果与不平行，那么与、共面的充要条件是______．

【答案】存在唯一的有序实数对，使.

根据共面向量定理，如果与不平行，

那么与、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.

故答案为：存在唯一的有序实数对，使.

3．已知，则下列命题正确的是(        )

A．          B．          C．          D．

【答案】C

由题可知：对A，当时，不成立，对B，左边是实数，右边为向量，错误；

对C，正确；对D，，不成立

故选：C

5．空间两个向量，互为相反向量，已知，则下列结论不正确的是(        )

A．          B．          C．与方向相反          D．

【答案】B

由题可知：向量，互为相反向量且，所以ACD正确， ，所以B错误，故选：B

5．已知，且，则_____________．

【答案】2

因为，所以，解得.

故答案为：2

重点题型一：空间向量及相关概念的理解

典型例题

例题1．（2022·山西大附中高一期中）下列说法正确的是（  ）

A．经过空间中任意三点的平面有且仅有一个

B．如果一条直线垂直于平面中的无数条直线，那么该直线垂直于该平面

C．两个单位向量的长度相等

D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

【答案】C

对于A，若三点共线，则过这三点的平面有无数个，A错误；

对于B，若一条直线垂直于平面中的无数条互相平行的直线，则该直线未必垂直于该平面，B错误；

对于C，所有单位向量的模长均为，C正确；

对于D，两个单位向量平行，则两个单位向量可能同向或反向，则可能两个向量为相等向量或相反向量，D错误.

故选：C.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：

（1）模为的向量是______；

（2）的相等向量是______；

（3）的相反向量是______；

（4）的共线向量（平行向量）为______；

（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．

【答案】     ，，，，，，，     ，，     ，，，     ，，，，，，     不共面

【解析】

(1)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，．

(2)与相等的向量有，，．

(3)的相反向量为，，，．

(4)的共线向量（平行向量）为，，，，，，．

(5)因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面．

故(1)答案为：，，，，，，，；

(2)答案为：，，；

(3)答案为：，，，；

(4)答案为：，，，，，，；

(5)答案为：不共面.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（       ）

①在同一条直线上的单位向量都相等；

②只有零向量的模等于0；

③在正方体中，与是相等向量；

④在空间四边形中，与是相反向量；

⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；

②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；

③正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同；

④错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同；

⑤错误，三棱柱中与的模一定相等的向量是共5个.故选：A

2．（2022·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（理））与向量同方向的单位向量的坐标是_____________.

【答案】

由已知，所以与同方向的单位向量的坐标是．

故答案为：．

重点题型二：空间向量的线性运算

典型例题

例题1．（2022·全国·高二期末）直三棱柱中，若，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

由已知得，

故选：A.

例题2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（理））在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

如下图所示：

.

故选：A.

例题3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体中，用向量，，表示______．

【答案】

解：，

故答案为：.

同类题型归类练

1．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

在长方体中，易知，

所以.

故选：D.

2．（2022·北京大兴·高二期末）如图，在平行六面体中，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

故选：C

3．（2022·上海黄浦·二模）在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．

【答案】

由题意，

故答案为：

重点题型三：空间共线向量定理及其应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线.

【答案】证明过程见解析.

由图作出如图所示长方体

由题可得，，

，

所以，所以，E，N三点共线.

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．

【答案】

，，

，

三点共线，存在实数，使得，即，

，解得：．

故答案为：.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）若与平行，则______．

【答案】3

与平行，则，所以，

所以，解得：，所以.

故答案为：3.

2．（2022·全国·高二期末）已知，，若与为共线向量，则x＝_________．

【答案】

解：因为，且与共线，

所以存在，使得，即，所以，解得；

故答案为：

3．（2022·浙江丽水·高二期末）已知，若，则_____________

【答案】##-0.5

由，可知存在实数使得，

即，

有，解得.

当时，，符合题意.

故答案为：

4．（2022·全国·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．

【答案】C、E、F三点共线

解：设，，，

，

，

，

，

因为，

所以，

又因为、有公共点C，

所以C、E、F三点共线．

重点题型四：空间共面向量定理及其应用

典型例题

例题1．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，.

求证：四点共面；

【答案】(1)证明见解析

∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴、、、四点共面；

例题2．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，三点不共线，对空间任意一点，当（其中）时，点是否与，，共面？

【答案】点P与A，B，C共面，理由见解析

因为，所以

，则，即，因为A，B，C三点不共线，所以向量不共线，由平面向量基本定理可知：共面，因为三个向量有公共点C，所以直线AP在两相交直线AB，AC所确定的平面内，故P与A，B，C共面.

例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．

【答案】向量共面，理由见解析.

设，则，故，解得：，故，由空间向量共面定理得：向量共面.

例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知、、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.

【答案】证明见解析

证明：若在平面内，则存在实数、，使得，

对于空间中的任意一点，则，

可得，

因为，则，

所以，在平面内存在满足的实数、、，使得；

若存在满足的实数、、，使得，

则，即，

所以，，即、、共面，故在平面内，

即在平面内存在满足的实数、、，使得.

因此，在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.

同类题型归类练

1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

若，，，四点共面，则，则

故选：D．

2．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

设，

若点与点共面，

则，

对于选项A：，不满足题意；

对于选项B：，不满足题意；

对于选项C：，不满足题意；

对于选项D：，满足题意.

故选：D.

3．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）

A．一定不共面 B．一定共面

C．不一定共面 D．与点位置有关

【答案】B

由

，

所以A，B，C，P四点共面，

故选：B

4．（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线

可得，解之得

故选：D

5．（2022·福建厦门·高二期末）已知是空间的一个基底，，，，若四点共面．则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

因为四点共面，设存在有序数对使得，则，即，所以得.

故选：A

6．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．

【答案】共面

，

因为A，B，C三点不共线

则不共线，

则共面

则A，B，C，M四点共面.

故答案为：共面.

7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.

【答案】

P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得

所以

即

所以 ，解得

故答案为：

1．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

由题意可得

.

故选：D

2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

选项A，因为，所以共面；

选项B，因为，所以共面；

选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.

选项D，因为共线，所以共面.

故选：ABD

3．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.

【答案】2

解：因为

，

又，

所以，，

则.

故答案为：2.

4．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.

【答案】

连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，

连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，

在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，

由题意，,所以，，

设，则，

又由三角形相似得，,

所以，解得：.

解得：故答案为：.