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所属成套资源:高二数学上学期同步精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)
- 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(精讲)-高二数学上学期同步精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(精练)-高二数学上学期同步精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
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- 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(综合卷)-高二数学上学期同步精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 第一章 空间向量与立体几何章末重点题型大总结(精讲)-高二数学上学期同步精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册) 试卷 2 次下载
人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品练习题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品练习题,文件包含142用空间向量研究距离夹角问题精讲解析版docx、142用空间向量研究距离夹角问题精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共81页, 欢迎下载使用。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(精讲)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:知识点精准记忆第三部分:课前自我评估测试第四部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:利用空间向量求点线距重点题型二:利用空间向量求点面距重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角第五部分:高考(模拟)题体验 知识点一:用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,是直线外一点.设,则向量在直线上的投影向量,在中,由勾股定理得:2、点到平面的距离如图,已知平面的法向量为,是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.知识点二:用向量法求空间角1、用向量运算求两条直线所成角已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为,则①②. 2、用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的角为,则有①②.(注意此公式中最后的形式是:)3、用向量运算求平面与平面的夹角如图,若于A,于B,平面PAB交于E,则∠AEB为二面角的平面角,∠AEB+∠APB=180°.若分别为面,的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;若二面角为锐二面角(取正),则;若二面角为顿二面角(取负),则;1.(2022·全国·高二课时练习)判断正误(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )(2)直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角.( )(3)二面角的大小为,平面,的法向量分别为,,则.( )2.(2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试)若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线与所成的角为( )A.30° B.150° C.60° D.120°3.(2022·江苏·马坝高中高二期中)如图,在四棱锥中,,底面ABCD为长方形,,,Q为PC上一点,且,则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为( )A. B.C. D.4.(2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末(理))平面的法向量为,平面的法向量为,则下列命题正确的是( )A.,平行 B.,垂直C.,重合 D.,相交不垂直5.(2022·江苏淮安·高二期中)已知向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.重点题型一:利用空间向量求点线距典型例题例题1.(2022·江苏徐州·高二期末)已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为( )A. B. C. D.例题2.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)点是直线上一点,是直线的一个方向向量,则点到直线的距离是______.例题3.(2022·江西南昌·高二期中(理))如图,在棱长为4的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为_______.同类题型归类练1.(2022·河北沧州·高二期末)在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为点,则点到直线的距离为( )A. B. C. D.62.(2022·天津·静海一中高二期末)已知点P(5,3,6),直线l过点A(2,3,1),且一个方向向量为,则点P到直线l的距离为( )A. B. C. D.3.(2022·福建省同安第一中学高二阶段练习)已知,,,则点C到直线AB的距离为( )A.3 B. C. D.4.(2022·山东滨州·高二期末)已知空间直角坐标系中的点,,,则点P到直线AB的距离为( )A. B. C. D.重点题型二:利用空间向量求点面距典型例题例题1.(2022·江苏省扬州市教育局高二期末)已知是平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为_________.例题2.(2022·河南·高二阶段练习(理))已知平面的法向量为,点在平面内,若点到平面的距离为,则________.同类题型归类练1.(2022·河南·濮阳一高高二期中(理))如图,在棱长为1的正方体中,若E,F分别是上底棱的中点,则点A到平面的距离为______.2.(2022·广东·高二阶段练习)在直三棱柱中,,,E,F分别为棱、的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为______.3.(2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末)在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点A到平面的距离为___________.4.(2022·全国·高二期末)如图,已知长方体中,,,则点到平面的距离为__________. 重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用典型例题例题1.(2022·湖南·高二课时练习)在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求平面与平面之间的距离. 例题2.(2022·湖南·高二课时练习)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,棱长为4,求平面与平面之间的距离.同类题型归类练1.(2022·江苏·高二课时练习)已知正方体的棱长为a,则平面与平面的距离为( )A. B. C. D.2.(2022·全国·高二)在棱长为的正方体中,则平面与平面之间的距离为A. B.C. D.3.(2022·全国·高二课时练习)两平行平面 , 分别经过坐标原点 和点 ,且两平面的一个法向量 ,则两平面间的距离是 A. B. C. D.4.(2022·山东·济南外国语学校高二期中)在棱长为的正方体中,平面与平面间的距离是________.重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角典型例题例题1.(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )A. B. C. D.例题2.(2022·全国·高三专题练习)如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长度为2,且.(1)求的长;(2)直线与所成角的余弦值.例题3.(2022·江苏盐城·高一期末)在四棱锥中,已知底面是菱形,,,,若点为菱形的内切圆上一点,则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.同类题型归类练1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.2.(2022·河南安阳·高二阶段练习(理))在正三棱柱中,,点、分别为棱、的中点,则和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3.(2022·江苏省镇江中学高二期末)在空间直角坐标系O-xyz中,向量分别为异面直线方向向量,则异面直线所成角的余弦值为___________.4.(2022·湖南岳阳·高二期末)如图,在直三棱柱中,侧面侧面分别为的中点,;(1)求证:直线面;(2)求异面直线与所成角的余弦值. 5.(2022·浙江·效实中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,面,,点为线段中点(1)求证:面;(2)求异面直线与所成角的大小. 重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角典型例题例题1.(2022·福建龙岩·高二期中)如图,正三棱柱的所有棱长都相等,,,分别为,,的中点,则与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图,在四棱锥中,底面,四边形为正方形,且,为的重心,设与平面所成角的正弦值为_______. 例题3.(2022·全国·高三专题练习)如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,,,,,平面平面.为线段上一动点,当______时,直线与平面所成角的正弦值为. 同类题型归类练1.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(理))平行六面体中,,则与底面所成的线面角的正弦值是( )A. B. C. D.2.(2022·全国·高三专题练习)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )A. B.C. D. 3.(2022·上海中学高一期末)在正方体中,棱与平面所成角的余弦值为__________.4.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(理))一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中,以下命题正确的是___________.(填序号) ①;②平面;③与是异面直线且夹角为;④与平面所成的角为;⑤二面角的大小为.5.(2022·浙江·高三期末)如图,已知菱形,,沿直线将翻折成,分别为的中点,与平面所成角的正弦值为,为线段上一点(含端点),则与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角典型例题例题1.(2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习(文))二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,,则该二面角的大小为( )A.30° B.45° C.60° D.120°例题2.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)如图,在四棱锥中,,分别是,的中点,底面,,,,若平面平面,则二面角的正弦值是_________. 例题3.(2022·江苏·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面中,,侧面平面,且,点在棱上,且.则二面角的余弦值为____________ 同类题型归类练1.(2022·全国·高二课时练习)在一个二面角的两个半平面上,与二面角的棱垂直的两个向量分别为、,则这个二面角的余弦值为( )A. B. C. D.或2.(2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习(理))已知矩形ABCD,,,将沿AC折起到的位置若,则二面角平面角的余弦值的大小为( )A. B. C. D.3.(2022·北京八中高二期末)已知长方体中,,,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 4.(2022·全国·高三专题练习(理))如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.5.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且平面ABCD,,点F为PC的中点,则二面角的正切值为__________1.(2022·全国·高考真题)如图,是三棱锥的高,,,E是的中点.(1)证明:平面;(2)若,,,求二面角的正弦值. 2.(2022·全国·高考真题(理))如图,四面体中,,E为的中点.(1)证明:平面平面;(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.