人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品课堂检测

2.5.2圆与圆的位置关系（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：两圆的位置关系

重点题型二：两圆相切问题

重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长

重点题型四：圆与圆的位置关系的应用

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2、圆与圆的位置关系的判定

2.1几何法

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.

①当时，两圆相交；

②当时，两圆外切；

③当时，两圆外离；

④当时，两圆内切；

⑤当时，两圆内含.

2.2代数法

设:

:

联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其

①与设设相交

②与设设相切（内切或外切）

③与设设相离（内含或外离）

知识点二：圆与圆的公共弦

1、圆与圆的公共弦

圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.

2、公共弦所在直线的方程

设:

:

联立作差得到：即为两圆共线方程

3、公共弦长的求法

代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

知识点三：圆与圆的公切线

1、公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

（3）两圆相交时，只有2条外公切线；

（4）两圆内切时，只有1条外公切线；

（5）两圆内含时，无公切线．

2、公切线的方程

核心技巧：利用圆心到切线的距离求解

知识点四：圆系方程

以为圆心的同心圆圆系方程：；

与圆同心圆的圆系方程为；

过直线与圆交点的圆系方程为

过两圆，圆：交点的圆系方程为

（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.

两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(      )

（2）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(      )

（3）若两圆有公共点，则．(      )

2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）圆：与圆：的位置关系是内切   (        )

3．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的内公切线有且仅有(        )

A．1条          B．2条          C．3条          D．4条

4．（2022·全国·高二课时练习）若两圆的半径R，r分别为5和2，圆心距d为3，则两圆的位置关系是_________．

5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系是(        )

A．相交          B．外离          C．外切            D．内切

重点题型一：两圆的位置关系

角度1：判断两圆位置关系

典型例题

例题1．（2022·天津河北·高二期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（   ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．相离

例题2．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的公切线的条数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例题3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（   ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

角度2：由圆的位置关系求参数

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）“”是“与相切”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件

例题3．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

例题4．（2022·江苏盐城·高二期末）若圆和圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二期中）若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．

2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆内切，则_________.

3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.

4．（2022·全国·高三专题练习）两圆与相交，则的取值范围是______.

5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆与圆外切,则的值为______.

6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．

重点题型二：两圆相切问题

例题1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则的值为___________．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数＝________.

例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆:与圆：

相内切， 则 的最小值为__________．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习）半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为______

2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知圆与圆外切，则实数a的值为___________.

3．（2022·江苏盐城·高二期末）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．

4．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．

5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，求实数a的值．

重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长

角度1：求公共弦方程

典型例题

例题1．（2022·浙江·高三专题练习）圆与圆的公共弦所在直线方程______．

例题2．（2022·全国·高二）已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.

角度2：两圆公共弦长

典型例题

例题1．（2022·天津河北·二模）圆和圆的公共弦的长为___________．

例题2．（2022·天津市第四十七中学高三开学考试）若圆与圆()的公共弦长为，则＝________.

同类题型归类练

1．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．

3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二开学考试）已知圆与相交，它们公共弦所在直线的方程是________．

4．（2022·广东汕头·高二阶段练习）圆与的公共弦长为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·山东威海·三模）圆与圆的公共弦长为______．

6．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0( )的公共弦长为，则a＝________.

7．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知圆与圆（t，m，）相交于P，Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

重点题型四：圆与圆的位置关系的应用

角度1：圆的公切线条数

典型例题

例题1．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（   ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

例题2．（2022·四川宜宾·高二期末（理））若圆与圆有且仅有一条公切线，则（   ）

A．－23 B．－3 C．－12 D．－13

角度2：圆的公切线方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

角度3：圆的公切线长

典型例题

例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.

(1)求圆和圆公切线段的长度；

角度4：与圆有关的最值问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）点是圆上的任一点，圆是过点且半径为1的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

同类题型归类练

1．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））圆与圆的公切线条数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.

4．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆，

(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；

5．（2022·陕西·无高一阶段练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ）

A． B．6 C．9 D．12

6．（2022·河南·模拟预测（理））过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（       ）

A．2 B． C． D．

1．（2022·全国·模拟预测）若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（       ）

A． B．2 C． D．

2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线的距离最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（       ）

A．点到直线的距离最大值为

B．满足的点有3个

C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为

D．的最小值是

4．（2022·天津二中模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．

5．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．

(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．