拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（精讲）-高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

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拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（精讲）
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）
重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：三角形面积问题
直线方程：

知识点二：焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为




注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
知识点三：平行四边形的面积
直线为，直线为



注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
知识点四：范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
第二部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）
典型例题
例题1．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，､为左右焦点.直线交椭圆于､两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，斜率之积为，求证：的面积为定值.



例题2．（2022·天津·高考真题）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆有唯一公共点，直线交轴于点（异于），若，且的面积为，求椭圆的标准方程．



例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆上，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为
(1)若直线的斜率为1，求直线的斜率；
(2)若，求三角形的面积.


同类题型归类练
1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．


2．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．


3．（2022·河南开封·高二期末（理））已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
(1)求E的方程；
(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.


4．（2022·河南开封·高二期末（文））已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．


重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
典型例题
例题1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．



例题2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.



例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，点为椭圆上非顶点的动点，点，分别为椭圆的左、右顶点，过点，分别作，，直线， 相交于点，连接（为坐标原点），线段与椭圆交于点，若直线，的斜率分别为，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值．


例题4．（2022·浙江·杭州市西湖高级中学高二期中）已知点是椭圆：一点，且椭圆的离心率为.

(1)求此椭圆方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点向上作一射线交椭圆于点，以为边作矩形，使得对边经过椭圆中心，求矩形面积的最大值.


例题5．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，上的点与外的点距离的最小值为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l与椭圆交于点，，当直线l被圆截得的弦长为时，求面积的取值范围．



同类题型归类练
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．
(1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；
(2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．
①与是否相等？证明你的结论；
②已知，求面积的最大值．
2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.


3．（2022·全国·高三专题练习），是椭圆：的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点，当点的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)记和的面积分别为和．求的取值范围．



4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，长轴长为，分别为椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的离心率为，过点的直线与曲线交于两点，设的中点为M，两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围.


5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．


重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
典型例题
例题1．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．



例题2．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．


例题3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．





例题4．（2022·江西·景德镇一中高二期末（文））若是双曲线的两个焦点.

(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
(2)如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.



例题5．（2022·浙江·高三专题练习）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．



同类题型归类练
1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．



2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．



3．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.
(1)求，；
(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.



重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
典型例题
例题1．（2022·山东·胜利一中模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点满足，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点和，在线段上取点，满足，直线交直线于点，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．







例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.

(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点，点、分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.



例题3．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点.
(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；
(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，线段的中点为点，求的面积的取值范围.


例题4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若轨迹的左，右顶点分别为，，点为轨迹上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，求四边形面积的最小值.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.


2．（2022·广东江门·高二期末）若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.


3．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．
(1)求的方程；
(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．


4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．



5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，且经过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.




重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
典型例题
例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．







例题2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同两点，，且.
(1)求抛物线的方程及焦点F的坐标：
(2)求的面积（为坐标原点）.





例题3．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点和点在抛物线上，且点到焦点的距离是，求的面积．





例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上横坐标为4的一点，过点作圆：的两条切线与抛物线分别交于异于点的，两点，求的面积.





例题5．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知抛物线的焦点为，是抛物线上在第一象限内的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于，两点，若的中点坐标为，，求的面积．


例题6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知抛物线：，经过的直线与交于，两点.
(1)若，求长度的最小值：
(2)过焦点的直线交抛物线于，两点，若，求的面积.




同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.




2．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积．




3．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知抛物线的准线与轴交于点，其焦点为，椭圆以，为焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若，求（点为坐标原点）的面积.


4．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．




5．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.



6．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；
(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；
(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．







重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值.




例题2．（2022·吉林省实验中学高二期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求面积的最小值.




例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.






例题4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，若的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和，，点，分别为的中点，求面积的最小值.



例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．
(1)求曲线，的方程；
(2)点是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．




同类题型归类练
1．（2022·云南德宏·高三期末（理））已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点，并求面积的取值范围．








2．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点作直线交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，以Q为切点作抛物线的切线，且，求面积S的最小值.



3．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）


4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．





5．（2022·浙江·高三专题练习）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上.
(1)求的值及抛物线的准线方程；
(2)求证：直线与直线的倾斜角互补；
(3)当点的横坐标时，求面积的最大值.





6．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线C的方程为，直线与抛物线C相交于A，B不同两点.
(1)求抛物线C的准线方程；
(2)当时，求线段AB的最小值；
(3)若直线经过抛物线C的焦点F，过点F作直线与垂直，且直线与抛物线交于不同两点C，D，设M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值.