2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ 　）
A. a≠1 B. a≠﹣1 C. a≠±1 D. 为任意实数
2. 方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（　　）
A. 3 B. 4 C. 4或3 D. ﹣4或3
3. 直线与抛物线的交点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 互相重合的两个
4. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是
（　　）
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12

A. x＜0或x＞2 B. 0＜x＜2 C. x＜﹣1或x＞3 D. ﹣1＜x＜3
5. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 方程与所有根的乘积等于（ ）
A. -18 B. 18 C. -3 D. 3
7. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A B. C. D.
9. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行点数和为300，则n的值为（　　）

A. 30 B. 26 C. 25 D. 24
12. 若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）
A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b
C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 在同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意列出方程（化为一般式）_____．
14. 若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
15. 已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的根， =_____．
16. 已知点（﹣1，y1），（﹣3），（﹣2，y3）都在函数y=3（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．
17. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　．

18. 若对于实数a，b，规定a*b= ，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2=_____．
三、解 答 题（共86分）
19. （1）已知a，b，c均为实数，且 +|b+1|+（c+2）2=0，求关于x的方程ax2+bx+c=0的根；
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）三点，求该二次函数的解析式．
阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，则原式=（1﹣t）（t +）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t +t2=，
问题：
20. （1）计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）；
21. （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
23. 已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．

24. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0
（1）证明原方程有两个没有相等的实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在或最小值？若存在，求出这个值；若没有存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x1﹣x2|）
25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件
（1）写出商场这种文具，每天所得的利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（2）求单价为多少元时，该文具每天的利润；
（3）商场营销部上述情况，提出了A、B两种营销
A：该文具的单价高于进价且没有超过30元；
B：每天量没有少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种的利润更高，并说明理由
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若没有存在，请说明理由．















2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷
（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ 　）
A. a≠1 B. a≠﹣1 C. a≠±1 D. 为任意实数
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据题意得：a2-1≠0，即a2≠1，解得：a≠±1．
故选C．
考点：一元二次方程的定义．
2. 方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（　　）
A. 3 B. 4 C. 4或3 D. ﹣4或3
【正确答案】C

【分析】运用因式分解法解方程即可.
【详解】，
移项得：，
提公因式得：，
∴，．
故选C．
3. 直线与抛物线的交点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 互相重合的两个
【正确答案】C

【分析】抛物线与直线交点函数值为同时满足两个解析式的点的函数值，即满足方程=，解出方程的根即可求交点个数.
【详解】解：抛物线与直线相交，
=，,即：，解得：，.
抛物线与直线交点个数是2个.
故答案为C.
抛物线与直线的交点问题实质是一元二次方程的性质问题，联立直线与抛物线方程，可以求一元二次方程的根，也可以通过判别式判断：
（1）当，抛物线与直线有两个交点；
（2）当，抛物线与直线有一个交点；
（3）当时抛物线与直线有无交点．
4. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是
（　　）
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12

A. x＜0或x＞2 B. 0＜x＜2 C. x＜﹣1或x＞3 D. ﹣1＜x＜3
【正确答案】D

【详解】从表格可以看出，当x=﹣1或3时，y=0；
因此当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选D．
5. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形后剩余矩形的宽是（x-2）cm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求得x的值，再求原正方形的面积即可.
【详解】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形的宽是（x-2）cm，
由题意可得：x（x-2）=80，
解得x=10或-8（没有合题意，舍去），
所以原来的正方形的面积是100cm2.
故选A.
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题利用已知矩形面积列出方程是解决本题的关键．
6. 方程与所有根的乘积等于（ ）
A. -18 B. 18 C. -3 D. 3
【正确答案】A

【详解】方程+3x-6=0的两根之积为-6，
-6x+3=0的两根之积为3，
所以两个方程的所有根的积：-3×6=-18，
故选A．
7. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
【正确答案】C

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故选C．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用．
8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
函数的图象一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D没有正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
9. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个没有相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【详解】由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，
∵﹣＞﹣1，
∴b＜2a，故①正确，
如图易知A（﹣1，0），B（﹣1，a﹣b+c），C（0，c），
当AB=OC时，﹣（a﹣b+c）=c，可得a+2c﹣b=0，
当AB＞OC时，﹣（a﹣b+c）＞c，可得a+2c﹣b＜0，
当AB＜OC时，﹣（a﹣b+c）＜c，可得a+2c﹣b＞0，
故②错误，
∵﹣＜﹣，
∴b＞a，
设x1＞x2
∵﹣＜x1＜0，﹣2＜x2＜﹣1，
∴x1•x2＜1，
∴＜1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故③正确，
∵b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜b2，
∵b＜2a，
∴＜3ab，
∴b2=b2+b2＞b2+2ac，
b2+2ac＜b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故④正确．
故选C．

11. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行点数和为300，则n的值为（　　）

A. 30 B. 26 C. 25 D. 24
【正确答案】D

【详解】由题意得：
n（n+1）=300
解得：n=24．
故选D．
12. 若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）
A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b
C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2
【正确答案】C

【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
【详解】用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．
故选C．

二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 在同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意列出方程（化为一般式）_____．
【正确答案】x2﹣x﹣45＝0

【分析】设参加这次聚会的同学共有x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手，因而共握手次，即可列方程求解．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
根据题意得，＝45，即x2﹣x﹣45＝0．
故答案为x2﹣x﹣45＝0．
本题考查一元二次方程应用，属于典型题，设未知数，找到等量关系，列出方程是解题关键.
14. 若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
【正确答案】181

【详解】x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3600
（x﹣1）2=3600，
x﹣1=±60，
所以a=61，b=﹣59，
所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．
故答案为181．
15. 已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的根， =_____．
【正确答案】

【详解】∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的根，
∴a2﹣3a﹣1=0，
∴a2=3a+1，
∴==．
故答案为．
16. 已知点（﹣1，y1），（﹣3），（﹣2，y3）都在函数y=3（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．
【正确答案】y2＞y3＞y1

【详解】∵y=3（x+1）2﹣2，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣1，
A（﹣4，y1）关于直线x=﹣2的对称点是（0，y1），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案为y2＞y3＞y1．
点睛：根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，根据x＜﹣1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
17. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　．

【正确答案】

【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可.
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，

∵抛物线平移后原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3.
∴平移后二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣.
∴点P的坐标是（3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=
18. 若对于实数a，b，规定a*b= ，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2=_____．
【正确答案】12或﹣4

【详解】∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=3或﹣1，
当x1=3，x2=﹣1时，
x1*x2=x12﹣x1x2=9+3=12，
当x1=﹣1，x2=3时，
x1*x2=x1x2﹣x12=﹣3﹣1=﹣4，
故答案为12或﹣4．
三、解 答 题（共86分）
19. （1）已知a，b，c均为实数，且 +|b+1|+（c+2）2=0，求关于x的方程ax2+bx+c=0的根；
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）三点，求该二次函数的解析式．
【正确答案】（1）x1=，x2=；（2）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．

【详解】分析：（1）先根据算术平方根、值、偶次方都大于等于0，可得三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中求解．
（2）把A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可．
本题解析：
（1）∵+|b+1|+（c+2）2=0，
∴a﹣2=0，b+1=0，c+2=0，
∴a=2，b=﹣1，c=﹣2．
方程ax2+bx+c=0即为2x2﹣x﹣2=0，
解得x1=，x2=；
（2）根据题意得
，
解得
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．
点睛：本题考查了非负数性质的运用以及待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元方程组来求解即可．
阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，则原式=（1﹣t）（t +）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t +t2=，
问题：
20. （1）计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）；
21. （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
【正确答案】20. ；
21. x=0或x=﹣5．

【分析】（1）设，则原式=，进行计算即可；
（2）设，则原方程化为：，求出t的值，再解一元二次方程即可．
【20题详解】
设，
则原式=
=
=；
【21题详解】
设，则原方程化为：，
∴，解得：或，
当时，，，
，；
当时，，，
△==25﹣4×1×8＜0，此时方程无解；
即原方程的解为：，．
本题主要考查了换元法解一元二次方程、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会用换元的思想解决问题．

22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．

【详解】试题分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
试题解析：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
(1＋x)2＝1.21，1＋x＝±1.1，
x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．

23. 已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【正确答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）；（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．

【分析】(1)、根据图像与x轴有两个交点，则△>0求出m的取值范围；(2)、根据点A坐标得出二次函数的解析式，然后得出点B的坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而得出点P的坐标；(3)、根据图像直接得出答案.
【详解】(1)、∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0
∴m＞﹣1；
(2)、∵二次函数的图象过点A（3， 0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）．
(3)、根据函数图象可知：x＜0或x＞3
考点：二次函数的性质
24. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0
（1）证明原方程有两个没有相等的实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在或最小值？若存在，求出这个值；若没有存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x1﹣x2|）
【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，AB有最小值为2．

【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴△=（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有两个没有等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．
∵AB=|x1﹣x2|，
∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB=．
25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件
（1）写出商场这种文具，每天所得的利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（2）求单价为多少元时，该文具每天的利润；
（3）商场的营销部上述情况，提出了A、B两种营销
A：该文具的单价高于进价且没有超过30元；
B：每天量没有少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种的利润更高，并说明理由
【正确答案】(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即单价为35元时，该文具每天的利润;
(3) A利润更高.

【分析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×量，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求值.
（3）分别求出A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B的利润，然后进行比较.
【详解】解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.
（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
∴当x＝35时，w有值2250，
即单价为35元时，该文具每天的利润.
（3）A利润高,理由如下：
A中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w有值，此时，值为2000元.
B中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49.
∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，
∴当x=45时，w有值，此时，值为1250元.
∵2000＞1250，
∴A利润更高
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

【详解】分析：（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．
本题解析：
（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，
将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，
解得a=﹣，
故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；
（2）∵y=﹣x2﹣x+，
∴x=0时，y=，
∴C（0，）．
y=0时，﹣ x2﹣x+=0，
解得x=1或x=﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC==2．
设P（﹣1，m），
当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；
当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2；
当PB=PC时， =，解得m=0，
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；
（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，
所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（﹣2，），B′（3，2）代入，
得，解得，
即直线MB′的解析式为y=x+．
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．
由，解得，即Q（﹣，）．
所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形、分类讨论及方程思想是解题的关键．

















2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2. 在一个没有透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的6个红球和4个白球，从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列汽车商标图案中，是对称图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形
A. B. C. D.
5. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )
A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3)
7. 如图，点、、是上的三点，，则的度数是（ ）

A B. C. D.
8. 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的值是（ ）

A. B. C. D.
9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （1，0） C. （2，0） D. （1，0）或（2，0）
10. 在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A B. C. D.
11. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时
针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长是（ ）

A. B. C. D.
12. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　

A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共12分）
13. 已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是________cm．
14. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
15. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_________
16. 下图是二次函数图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④5a
三、（每小题6分，共18分）
17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
19. 如图，点在的边上，，，.
求：的长.

四、（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）没有解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
21. 如图，在平面直角坐标系内, 的三个顶点坐标分别为A(2,-4)，(4,-4)，(1,-1)．


（1）画出关于轴对称，直接写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转90°后的；
（3）在(2)的条件下，求线段扫过的面积（结果保留π）.
五、（每小题8分，共16分）
22. 如图，用一段25m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门. 所围矩形菜园的长、宽分别为多少时，菜园面积为80m2？

23. 根据某网站，2014年网民们最关注的话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
六、（每小题12分，共24分）
24. 如图，是的直径，的平分线交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接.

（1）求证：；
（2）若，，求线段、的长.
25. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．






















2022-2023学年四川省泸州市九年级上册数学月考专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C

【分析】根据已知方程得出两个一元方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x-1）=0，
x-1=0，x=0，
x1=1，x2=0，
故选：C．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元方程是解此题的关键．
2. 在一个没有透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的6个红球和4个白球，从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】解：P（摸出红球）==．故选D．
3. 下列汽车商标图案中，是对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】B

【详解】解：A、C、D是轴对称图形，B是对称图形，故选B．
4. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形为
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据完全平方公式即可变形判断.
【详解】∵
∴
故，选D.
此题主要考查配方法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
5. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线x=1．故选A．
6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )
A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3)
【正确答案】D

【分析】先根据把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，可得点P1的坐标为：（3，3），然后分两种情况，即可求解
【详解】解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，
∴点P1的坐标为：（3，3），
如图所示：

将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标为：（﹣3，3），
将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3），
故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）．
故选：D
此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键．
7. 如图，点、、是上的三点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

详解】解：∵∠BAC=25°，∴∠BOC=2∠BAC=50°．故选C．
8. 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的值是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据中位线定理得到MN的时，AC，当AC时是直径，从而求得直径后就可以求得值．
【详解】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=AC，
∴当AC取得值时，MN就取得值，当AC时直径时，，
如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=，
∴MN=AD=，
故选C．

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值．
9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （1，0） C. （2，0） D. （1，0）或（2，0）
【正确答案】D

【详解】解：当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，故二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．故选D．
10. 在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：由题意得，n=120°，r=6cm，故可得：l==4πcm．故选A．
11. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时
针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：如图，过点F作FH垂直AC于H，过点F作FG垂直CD于G．由旋转的性质可知：CD=CA=6，CE=CB=4．∵F为ED中点，∴GF=CH=EH=2，HF=CG=GD=3，∴AH=AC﹣CH=6﹣2=4，由勾股定理可知：AF==5．故选C．

点睛：本题考查了旋转的性质、中位线定理、勾股定理等知识点，难度没有大．清楚旋转的“没有变”特征是解答的关键．
12. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案．
【详解】∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，
∴∠B=60°，BC=AB=8，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB﹣BD=12．
如图1，当0≤AD≤12时，AP=x，PQ=AP•tan30°=x，
∴y=x•x=x2；
如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x），
∴y=x•（16﹣x）=，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故选D．

本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、图形进行解题是关键.
二、填 空 题（每小题3分，共12分）
13. 已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是________cm．
【正确答案】2．

【详解】如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，即该圆的半径为2，
故答案为2．

14. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
【正确答案】

【详解】画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的有：24，42，
∴其中能被3整除的两位数的概率是.

15. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_________
【正确答案】27

【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知+=5，·=-1，因此可知=-2=25+2=27.
故答案为27.
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：，，确定系数a，b，c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.
16. 下图是二次函数图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④5a
【正确答案】①③④.

【详解】解：由函数图象可知b2﹣4ac＞0，故b2＞4ac成立，则①正确；
由对称轴x=﹣1知， =－1，故2a=b，又因函数图象开口向下知a＜0，故2a+b＜0，则②错误；
由题目可知函数图象与x轴的另一个交点是（1，0），故a+b+c=0，则③正确；
由对称轴x=﹣1知， =－1，故2a=b，又因函数图象开口向下知a＜0，故5a＜2a，即5a＜b成立，故④正确．
故答案为①③④．
本题考查二次函数图象与系数之间的关系，只要会看函数图象，知道函数图象与x轴的交点关于对称轴对称，问题就可得以解决．
三、（每小题6分，共18分）
17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0．
【正确答案】．

【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．
【详解】解：（x－2） （x+1）=0，
∴x－2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=-1．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
【正确答案】（1）；（2）见解析

【详解】试题分析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式；
（2）把解析式配方即可得出结论．
试题解析：解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得：，解得：，∴所求二次函数的解析式为y=4x2+5x；
（2），∴顶点坐标为：．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19. 如图，点在的边上，，，.
求：的长.

【正确答案】6cm

【详解】试题分析：求出AB，证△ACD∽△ABC，推出AC：AB=AD：AC，代入求出即可．
试题解析：解：∵AD=4，BD=5，∴AB=9，∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD×AB=36，∴AC=6（㎝）．
点睛：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ACD∽△ABC并进一步得出比例式．
四、（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）没有解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）m=-4或m=-2

【详解】试题分析：(1)、根据根的判别式判断即可； (2)、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根．
试题解析：(1)、∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
即方程有两个没有相等的实数根；
(2)、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0，整理得：m2+6m+8=0，
解得：m=﹣4或m=﹣2； 当m=﹣4时，另一根为5；当m=﹣2时，另一根为1．
考点：(1)、根与系数的关系；(2)、根的判别式．

21. 如图，在平面直角坐标系内, 的三个顶点坐标分别为A(2,-4)，(4,-4)，(1,-1)．


（1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转90°后的；
（3）在(2)的条件下，求线段扫过的面积（结果保留π）.
【正确答案】（1）A1(-2,-4)；（2）见解析；（3）π

【分析】（1）由题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标没有变，横坐标互为相反数；
（2）由网格结构找出点A、B、C以点O为旋转顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用△ABC旋转时BC线段扫过的面积即可求出．
【详解】（1）如图所示，A1坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示；
（3）∵OC=，OB=，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积为：
﹣==．

本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称作图和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
五、（每小题8分，共16分）
22. 如图，用一段25m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门. 所围矩形菜园的长、宽分别为多少时，菜园面积为80m2？

【正确答案】长，宽为

【详解】试题分析：设矩形菜园垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
试题解析：解：设矩形菜园垂直于墙的一边长为，则另一边长为.
由题意，得
解这个方程，得，
当时，（舍去），当时，，
符合题意．
答：矩形菜园的长，宽为.
点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
23. 根据某网站，2014年网民们最关注的话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【正确答案】（1）作图见试题解析；（2）88；（3）．

【详解】试题分析：（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
试题解析：（1）∵的总人数是：420÷30%=1400（人），
∴关注教育的人数是：1400×25%=350（人），补全图形如下：
．
（2）880×10%=88万人，
∴估计最关注环保问题的人数约为90万人；
（3）画树形图得：

则P（抽取的两人恰好是甲和乙）=．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

六、（每小题12分，共24分）
24. 如图，是的直径，的平分线交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接.

（1）求证：；
（2）若，，求线段、的长.
【正确答案】（1）见解析；（2），

【详解】试题分析：（1）连接OC、OE．由PC为⊙O的切线，得到∠PCO=90°．再由CE平分∠ACB，得到E为弧AB的中点，进一步得到∠AOE=90°． 由OC=OE，得到∠OEC=∠OCE， 可以得到∠PCD=∠PDC，即可得到结论；
（2）过点A作AQ⊥CE，垂足为Q．在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，进而得到半径OA和OE的长．在Rt△AOE中，由AO=OE，可以得到AE的长，由Rt△AQC是等腰直角三角形，可以求得AQ、CQ的长，由勾股定理得到QE的长，进而得到CE的长．
试题解析：（1）证明：连接、
∵为的切线，∴．
又∵平分，∴为弧的中点，∴
∵，，
又∵，∴，
∴，即；

（2）过点作，垂足为.
∵为的直径，∴，
∴，
∴
在中，
在中，，∴.
∵，∴，∴
中，，
故
点睛：本题考查了切线的性质和勾股定理．灵活运用切线的性质和勾股定理是解答本题的关键．
25. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（3）Q，或

【详解】试题分析：（1）根据题意求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，根据三角形的面积可得二次函数的解析式，然后根据二次函数的最值可求解；
（3）根据配方法求出顶点的坐标，然后根据等腰三角形的性质，勾股定理列方程可求解.
试题解析：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．
∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），
∵点A，B，C在抛物线上，
∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，
∴S△PBE=（1﹣x）2，
∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x﹣1）2+，
当x=1时，S△PCE值为．
（3）∵二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标（﹣1，4），
∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，
∴MQ=OQ，
∴=，
∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，
∴Q，或．