广东省梅州市丰顺县颍川中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

2022-2023学年度第二学期梅州市丰顺县颍川中学九年级数学入学测试题

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（　　）

A． B．或或

C． D．或

2．已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　） 

A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm

3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　） 

A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2

C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3

4．箱子内有分别标示号码1～5的球，每个号码各2颗，总共10颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的概率是多少？（　　） 

A． B． C． D．

5．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，已知点A、点C在⊙O上，AB是⊙O切线，连接AC，若∠ACO＝65°，则∠CAB的度数为（　　）

A．35° B．30°

C．25° D．20°   

7．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C． D．

8．如图，是⊙O的直径，弦，，若动点M以的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为，当是直角三角形时，t的值为（　　）

A． B．5s C． D．或

9．函数与函数的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④方程组的解为，；⑤当 时，.其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤

10．在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　     　．

12．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根　     　．

13．如图：P是的直径 的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则　     　度．

14．若函数是二次函数，则m的值为　     　．

15．已知直线m与半径为5cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且，若AB＝6cm，则直线m与弦AB之间的距离为 　         　．

16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　          　．

17．如图，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为　     　．

三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。

18．若关于x的一元二次方程有实数根，求m能取的正整数值．

19．已知：a、b是实数，且满足，求关于x的一元二次方程的根．

20．已知，分别与相切于点，，，为上一点．

（Ⅰ）如图①，求的大小；

（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．

21．如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，求证：．

22．如图，将绕点A逆时针旋转得到．使点B的对应点E落在边上，求的度数．

23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是△ABC内的一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BD、CE．求证：BD=CE．

四、综合题

24．已知，是直径，弦于点，点是上一点．

（1）如图1，连接、、，求证：平分；

（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．

25．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B；与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA，对称轴为直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点M，N分别是线段AC，BC上的点，且MN∥AB，当MN＝2时，求点M，N的坐标．

（3）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等？若存在，请求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1．D

2．C

3．A

4．C

5．B

6．C

7．C

8．D

9．B

10．C

11．10

12．-1

13．25

14．0

15．1cm或9cm

16．（2，-3）

17．

18．解：∵关于x的一元二次方程有实数根，

∴，，

整理得：，

解得：，

∵，

∴，

∴m能取的正整数值有．

19．解：∵，，

∴，

∴，

∴原一元二次方程即为，整理得：，

∴，

解得．

20．解：（Ⅰ）如图，连接．

∵是的切线，

∴，．

即．

∵，

∴在四边形中，．

∵在中，，

∴．

（Ⅱ）如图，连接．

∵为的直径，

∴．

由（Ⅰ）知，，

∴．

∴．

∵在中，，

∴．

又是的一个外角，有，

∴．

21．证明：连接，，

∵四边形为矩形，

∴，

即．

由旋转，得.

∴．

22．解：由旋转的性质可知，，

∴

∴．

23．证明：由旋转可知∠DAE=90°，AD=AE．

∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠BAD=∠CAE．

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，(4分)

∴BD=CE．

24．（1）证明： 是 直径， ，

∴ ，

，

平分 ；

（2）证明：设 ，

，

，

，

，

，

，

，

∵ ，

，

，

，

，

，

，

，

如图2，连接 ，

，

∴△DFE≌△DFP（SAS） ，

，

， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，

，

；

（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，

设 ，

为直径， ，

∴ ，

，由 知 ，

， ，

，

，

在 和 中，

，

∴△AFE≌△AFP（SAS） ，

，

，

∴AG为EP的中垂线，

，

，

∵AB为直径，

，

，

，

在 和 中，

， ， ，

∴△AEG≌△APG（SSS） ，

，

， ，

，

，

，

，

，

，

设半径为 ， ，

则 ，

∵ ，

，

，

，

，

，

，

在 和 中，

， ， ，

∴△CHO≌△BGE（AAS） ，

，

，

，

，

，

在 中，由勾股定理得 ，

即 ，

，

，

则 ，

，

即 ，

令 ，

则原式为 ，

即 ，

解得： ， 舍 ，

，

负值舍去 ．

半径为10．

25．（1）解：设OA＝m，则OB＝OC＝2m，

∴A（﹣m，0），B（2m，0），C（0，2m），

∵对称轴为直线x＝1，

∴ ＝1，

解得m＝2，

∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），

设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），

把C（0，4）代入得：4＝﹣8a，

解得a＝﹣ ，

∴y＝﹣ （x+2）（x﹣4）＝﹣ x2+x+4，

∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+4；

（2）解：如图：

由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，

由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，

设M（n，2n+4），

在y＝﹣x+4中，令y＝2n+4得x＝﹣2n，

∴N（﹣2n，2n+4），

∵MN＝2，

∴﹣2n﹣n＝2，

解得n＝﹣ ，

∴M（﹣ ， ），N（ ， ）；

（3）解：存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等，理由如下：

过D作DK∥BC交y轴于K，交抛物线于E，在C下方的y轴上取T，使CT＝CK，过T作TE'∥BC，交抛物线于E'，E''，如图：

∵DK∥BC，△BCE和△BCD同底等高，

∴△BCE与△BCD的面积相等，

由y＝﹣ x2+x+4＝﹣ （x﹣1）2+ 得D（1， ），

∵直线BC解析式为y＝﹣x+4，DK∥BC，

∴直线DK解析式为y＝﹣x+ ，

∴K（0， ），CK＝ ，

解   得   或

∴E（3， ），

∵CT＝CK，

∴T（0， ），直线DK与BC的距离与直线TE'与BC的距离相等，

∴直线TE'解析式为y＝﹣x+ ，E'，E''都是满足条件的点，

解   得   或

∴E'（2﹣ ， + ），E''（2+ ， ﹣ ），

综上所述，E的坐标为：（3， ）或（2﹣ ， + ）或（2+ ， ﹣ ）.