人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念课后复习题

课时跟踪检测（一） 集合的概念

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)下列每组对象，能构成集合的是(　　)

A．中国各地最美的乡村

B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C．2022年将参加北京冬奥会的优秀运动员

D．清华大学2020年入学的全体学生

解析：选BD　中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能；优秀运动员，无法确定集合中的元素，故C不能．∴根据集合元素的确定性可知，B、D都能构成集合．

2．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－5　　　　　　　　　 B．－4

C．4   D．5

解析：选A　因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.

3．将集合用列举法表示，正确的是(　　)

A．{2,3}　　　　　　　　　 B．{(2,3)}

C．{x＝2，y＝3}   D．(2,3)

解析：选B　解方程组得

所以集合＝{(2,3)}，故B正确．

4．(多选)设集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列表述正确的是(　　)

A．{0}∈A　　　　　　　　 B．2∈A

C．{2}∈A   D．0∈A

解析：选BD　∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，

∴0∈A,2∈A，∵元素与集合是属于关系，故A、C不正确．

5．(多选)下列说法错误的是(　　)

A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}

B．方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2}

C．集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的

D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A

解析：选BCD　根据集合的概念易知A正确．

B错误，方程的根为故其解集应写成{(2，－2)}．

C错误，{(x，y)|y＝1－x}是由直线y＝1－x上的所有点组成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值构成的集合，二者不相等．

D错误，由题意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A.

故选B、C、D.

6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)

解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.

答案：∉　∈

7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．

解析：当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2.

当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2.

当a，b异号时，＋＝0.

∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个．

答案：3

8．用适当的方法表示下列集合．

(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；

(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．

解：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．

(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n＜500，n∈N}．

层级(二)　能力提升练

1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

解析：选B　当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．

2．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三个边长，则△ABC一定不是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

解析：选D　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．

3．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 021＋b2 020＝________.

解析：由题意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 021＋b2 020＝－1.

答案：－1

4．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．

解：根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；

由－1∈A可知，＝∈A；

由∈A可知，＝2∈A.

故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.

5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；

(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；

(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．

(2)由题意得，当

即a<且a≠0时方程有两个实根，

又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．

所以a的取值范围是.

(3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．

当集合A中没有元素，即A＝∅时，

由题意得解得a>.

综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素．

层级(三)　素养培优练

1．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4，有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．

解析：若只有①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，而a＝b＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；

若只有②正确，则有序数组为(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正确，则有序数组为(3,1,2,4)；

若只有④正确，则有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)．

故符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是6.

答案：6

2．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？

(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．

解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，

令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.

故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.

当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．

故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.