高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质练习

课时跟踪检测（九） 等式性质与不等式性质

层级(一)　“四基”落实练

1．若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y与－5的大小关系是(　　)

A．M＞－5　　　　　　　　 B．M＜－5

C．M＝－5   D．不能确定

解析：选A　因为x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2且y≠－1，所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，故M＞－5.

2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(　　)

A．4a＜4b   B．－4a＜－4b

C．a＋4＜b＋4   D．a－4＜b－4

解析：选B　根据不等式的性质，a＜b,4＞0⇒4a＜4b，A项正确；a＜b，－4＜0⇒－4a＞－4b，B项错误；a＜b⇒a＋4＜b＋4，C项正确；a＜b⇒a－4＜b－4，D项正确．

3．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　)

A．x＞y　　　　　　　　 B．x＝y

C．x＜y   D．x，y的关系随c而定

解析：选C　用作商法比较，由题意x＞0，y＞0，

∵＝＝＜1，∴x＜y.

4．(多选)下列四个选项中能推出＜的有(　　)

A．b＞0＞a   B．0＞a＞b

C．a＞0＞b   D．a＞b＞0

解析：选ABD　＜⇔＜0⇔ab(a－b)＞0.

A．ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；

B．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；

C．ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；

D．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．

5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)

解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，

所以(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．

答案：＜

6．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．

解析：①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200.②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x＞9(x－12)．

答案：8(x＋19)>2 200　8x＞9(x－12)

7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．

解析：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，

－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，

∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，

∴3≤z≤8.

答案：{z|3≤z≤8}

8．已知a，b∈R，a＋b＞0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．

解：因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，

所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，

所以a3＋b3≥ab2＋a2b.

层级(二)　能力提升练

1．(多选)设a，b为正实数，下列命题正确的是(　　)

A．若a2－b2＝1，则a－b＜1

B．若－＝1，则a－b＜1

C．若|－|＝1，则|a－b|＜1

D．若|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab|

解析：选AD　对于A，若a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b＞0⇒a＞b＞0，故a＋b＞a－b＞0，若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1，这与a＋b＞a－b＞0矛盾，故a－b＜1成立，所以A正确；

对于B，取a＝5，b＝，则－＝1，但a－b＝5－＞1，所以B不正确；

对于C，取a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3＜1不成立，所以C不正确；

对于D，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D正确．

2．已知a1＞1,0＜a2＜1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为________(填“＞”“＜”或“＝”)．

解析：P－Q＝－＝－＝＝，

因为a1＞1,0＜a2＜1，

所以a1－1＞0,1－a2＞0，a1a2＞0，

所以P－Q＝＞0，所以P＞Q.

答案：＞

3．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制定计划欲使总产值最高，则应开发A类电子器件________件，能使总产值最高为________万元．

解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.

由题意得总产值：

y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330(万元)，

当且仅当x＝20时，y取最大值330.

答案：20　330

4．已知－2＜a≤3,1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围．

(1)a＋b；(2)2a－3b.

解：(1)－1＜a＋b＜5.

(2)由－2＜a≤3得－4＜2a≤6，①

由1≤b＜2得－6＜－3b≤－3，②

由①＋②得，－10＜2a－3b≤3.

5．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.

证明：⇒≥⇒＋1≥＋1⇒≥⇒≤.

层级(三)　素养培优练

1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)

A．ax＋by＋cz   B．az＋by＋cx

C．ay＋bz＋cx   D．ay＋bx＋cz

解析：选B　法一：∵x＜y＜z，且a＜b＜c，

∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；

同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；

同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx，∴最低费用为(az＋by＋cx)元．故选B.

法二：特殊值法，取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14，az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10，ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11，ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13，故选B.

2．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．

解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a<b，且≥10%.由于－＝>0，于是>.又≥10%，因此>≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.