必修 第一册2.2 基本不等式同步训练题

课时跟踪检测（十） 基本不等式

层级(一)　“四基”落实练

1．若n＞0，则n＋的最小值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　　 B．4

C．6   D．8

解析：选B　∵n＞0，∴n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，故选B.

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A．25   B.

C.   D.

解析：选D　∵a>0，b>0，a＋2b＝5，

∴ab＝a·2b≤×2＝，

当且仅当a＝，b＝时取等号．

3．若－4<x<1，则(　　)

A．有最小值1   B．有最大值1

C．有最小值－1   D．有最大值－1

解析：选D　＝.

又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.

∴＝－≤－1，

当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

4．(多选)已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2   B．(a＋b)≥4

C．(a＋b)2≥2(a2＋b2)   D.<

解析：选AB　当a＞0，b＞0时，由基本不等式得，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号，A成立；

(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，B成立；

2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，则(a＋b)2≤2(a2＋b2)，C不恒成立；

因为a＋b≥2，所以2ab≤(a＋b)，

当且仅当a＝b时取等号，D不恒成立．

5．(多选)设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．0＜b－a＜   B．a＜a2＋b2

C．ab的最大值为   D.＜a2＋b2＜1

解析：选BD　由0＜a＜b，a＋b＝1，则0＜a＜＜b＜1.

对A，因为－＜－a＜0，＜b＜1，所以0＜b－a＜1，所以A错误；

对B，＜b⇒1＜2b⇒a＜2ab＜a2＋b2，所以B正确；

对C，ab≤2＝(当且仅当a＝b时取“＝”)，由于a＜b，所以“＝”不可取，所以C错误；

对D，因为a2＋b2＞＝，又a2＜a，b2＜b⇒a2＋b2＜a＋b＝1，所以D正确．

6．设a＋b＝M(a＞0，b＞0)，M为常数，且ab的最大值为4，则M＝________.

解析：∵a＋b＝M(a＞0，b＞0)，由基本不等式，得ab≤2＝.又ab的最大值为4，∴＝4(M＞0)．∴M＝4.

答案：4

7．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

解析：设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋≥2·＝8(小时)，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．

答案：8

8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9.

证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋，

同理，1＋＝2＋，

∴＝

＝5＋2≥5＋4＝9，

当且仅当a＝b＝时等号成立．

层级(二)　能力提升练

1．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．8

解析：选B　由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N*，分别把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼．

2．(多选)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的可能取值是(　　)

A．－2   B．2

C．－3   D．3

解析：选AB　∵x>0，y>0且＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋

≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，

即x＝4，y＝2时取等号，

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，

只需(x＋2y)min>m2恒成立，

即8>m2，解得－2<m<2.

结合选项知选A、B.

3．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．

解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，

解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.

又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，

当且仅当＝，即x＝1时取等号，

故函数f(x)的最小值为3.

答案：1　3

4．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.

(1)求a＋b的最小值；

(2)证明：a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

解：由a＋b＝＋＝，且a＞0，b＞0，得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.

(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①

假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则a2＋b2＋a＋b＜4，②

①②两式矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

5．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6 t，每吨大米的价格为6 000元，大米的保管费用z(单位：元)与购买天数x(单位：天)的关系为z＝9x(x＋1)(x∈N*)，每次购买大米需支付其他固定费用900元．问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解：设平均每天所支付的总费用为y元，

则y＝[9x(x＋1)＋900]＋0.6×6 000

＝＋9x＋3 609≥2＋3 609

＝180＋3 609＝3 789，

当且仅当＝9x，即x＝10时取等号，

所以该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．

层级(三)　素养培优练

1．设a＞b＞c，且＋≥恒成立，则m的取值范围为________．

解析：由a＞b＞c知，a－b＞0，b－c>0，a－c＞0.

∴原不等式等价于＋≥m.

要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．

∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，

当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．

故m的取值范围为{m|m≤4}．

答案：{m|m≤4}

2.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.

(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；

(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．

解：(1)由题意可得AD＝4－x，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4，

又AE＝CE＝x－DE，

在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，

即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，

化简可得DE＝4－(2＜x＜4)．

(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)

＝2≤2＝12－8，

当且仅当x＝2，4－x＝4－2，

即队徽的长和宽分别为2，4－2时，△ADE的面积最大．