高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精练

课时跟踪检测（二十七） 对数函数的图象和性质

层级(一)　“四基”落实练

1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(4,2)，则a的值为(　　)

A．3　　　　　B．2　　　　　C．9　　　　　D．4

解析：选B　法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图象过点(4,2)，则loga4＝2，a＝2.

法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(4,2)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(2,4)，即a2＝4，故a＝2.

2．(多选)若loga2<logb2<0，则下列结论正确的是(　　)

A．0<b<1   B．0<a<1

C．a>b   D．b>a>1

解析：选ABC　因为loga2<0，logb2<0，

所以0<a<1,0<b<1，

又loga2<logb2，

所以a>b.

3．已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则(　　)

A．a＜b＜c   B．b＜c＜a

C．c＜a＜b   D．c＜b＜a

解析：选D　a＝f＝＝ln 5，b＝f＝＝ln 4，c＝f(3)＝|ln 3|＝ln 3，

∵函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且3＜4＜5，

∴ln 3＜ln 4＜ln 5，即c＜b＜a.

4．已知函数y＝loga(2－ax)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　)

A．(0,2)   B．(1,2)

C．(1,2]   D．[2，＋∞)

解析：选C　由题意解得1＜a≤2.

5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(4＋3x－x2)的单调递减区间为(　　)

A.   B.

C.  D .

解析：选D　由题意函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称知，函数f(x)是函数g(x)＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x，即f(4＋3x－x2)＝ln(4＋3x－x2)，要使函数有意义，则4＋3x－x2＞0，即x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4，设t＝4＋3x－x2，则函数在上单调递增，在上单调递减．因为函数y＝ln t在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是，故选D.

6．已知a＝e－0.3，b＝log20.6，c＝log3π，则a，b，c从大到小的顺序是________．

解析：因为0＜e－0.3＜e0＝1，log20.6＜log21＝0，log3π＞log33＝1，所以c＞a＞b.

答案：c＞a＞b

7．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．

解析：由得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．

f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)

＝ln[－(x－1)2＋9]，

设u＝－(x－1)2＋9，又y＝ln u是增函数，

u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，

因此f(x)的单调递减区间是(1,4)．

答案：(1,4)

8．已知函数y＝(log2x－2)，2≤x≤8.

(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；

(2)求该函数的值域．

解：(1)y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，

又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3.

(2)由(1)得y＝2－，1≤t≤3，

当t＝时，ymin＝－；

当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1，

即函数的值域为.

层级(二)　能力提升练

1．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是(　　)

解析：选A　f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)＝(k－1)a0－a0＝k－2＝0，∴k＝2.∵f(x)是减函数，∴0＜a＜1，∴g(x)＝loga(x＋k)的图象是选项A中的图象．

2．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)

A．a<c<b   B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

解析：选A　∵23<32，∴2<3，∴log32<log33＝，∴a<c.∵33>52，∴3>5，∴log53>log55＝，∴b>c，∴a<c<b，故选A.

3．设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为________．

解析：实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，化为logax＋＋＝－3.令logax＝t，则原式化为logay＝－2＋.∵a＞1，∴当t＝－时，y取得最大值，∴loga＝，解得a＝4，∴log4x＝－，∴x＝4＝.

答案：

4．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，解不等式0<f(1－2x)－f(x)<1.

解：不等式0<f(1－2x)－f(x)<1，

即0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg<1.

由得－1<x<1.

由0<lg<1，得1<<10.因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－<x<.

由得－<x<.

故不等式的解集为.

5．已知函数f(x)＝loga(ax2－x)．

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝时，f(x)＝log，

由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，

所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，

利用复合函数单调性可得函数的增区间为(－∞，0)，

减区间为(2，＋∞)．

(2)令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象为开口向上，对称轴为x＝的抛物线．

①当0＜a＜1时，

要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递减，且g(x)min＝ax2－x＞0，

即此不等式组无解．

②当a＞1时，

要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递增，且g(x)min＝ax2－x＞0，

即解得a＞，又a＞1，所以a＞1.

综上可得，a＞1.所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．

层级(三)　素养培优练

1．(多选)若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：

(ⅰ)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；

(ⅱ)f(1)＝1；

(ⅲ)若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．

就称f(x)为“A函数”，下列定义在[0,1]上的函数中，是“A函数”的有(　　)

A．f(x)＝log (x＋1)   B．f(x)＝log2(x＋1)

C．f(x)＝x   D．f(x)＝2x－1

解析：选CD　选项A中，f(1)＝log (1＋1)＝－1，f(x)＝log (x＋1)不是“A函数”．选项B中，若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则f(x1)＋f(x2)＝log2(x1＋1)＋log2(x2＋1)＝log2(x1x2＋x1＋x2＋1)≥log2(x1＋x2＋1)＝f(x1＋x2)，不满足(ⅲ)，f(x)＝log2(x＋1)不是“A函数”．选项C中，f(x)显然满足(ⅰ)(ⅱ)，又f(x1＋x2)＝x1＋x2＝f(x1)＋f(x2)，因此，f(x)＝x是“A函数”．选项D中，f(x)显然满足(ⅰ)(ⅱ)．∵f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．又x1，x2∈[0,1]，∴2x1－1≥0,2x2－1≥0.从而f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．因此，f(x)＝2x－1是“A函数”．故选C、D.

2．已知a∈R，函数f(x)＝log2.

(1)当a＝5时，解不等式f(x)>0；

(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．

解：(1)当a＝5时，f(x)＝log2，

由f(x)>0，得log2>0，即＋5>1，

则＋4＝>0，即x>0或x<－，

即不等式的解集为.

(2)由f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0，

得log2－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0，

即log2＝log2[(a－4)x＋2a－5]，

因此＋a＝(a－4)x＋2a－5>0，①

∴(x＋1)[(a－4)x－1]＝0，②

当a＝4时，方程②的解为x＝－1，代入①成立；

当a＝3时，方程②的解为x1＝x2＝－1，代入①成立；

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝－1或x＝，

若x＝－1是方程①的解，则＋a＝a－1>0，即a>1；

若x＝是方程①的解，则＋a＝2a－4>0，则a>2，

则要使方程①有且仅有一个解，需1<a≤2.综上，若方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好只有一个元素，则a的取值范围是{a|1<a≤2或a＝3或a＝4}．