人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式随堂练习题

课时跟踪检测（十一） 一元二次不等式及其解法

层级(一)　“四基”落实练

1．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为(　　)

A．{x|－1≤x≤2}   B．{x|－1＜x＜2}

C．{x|x≥2或x≤－1}   D．{x|x＞2或x＜－1}

解析：选A　根据二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象(图略)可知，不等式的解是－1≤x≤2，故选A.

2．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于(　　)

A．{x|－4<x<3}   B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2}   D．{x|2<x<3}

解析：选C　∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．

3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)

A．{x|x>3或x<－2}   B．{x|x>2或x<－3}

C．{x|－2<x<3}   D．{x|－3<x<2}

解析：选C　由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，

∴b＝－a，c＝－6a，

∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，

又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，

∴－2<x<3.

4．(多选)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　)

A.   B．R

C.   D．∅

解析：选BCD　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.

5．(多选)二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则下列结论成立的是(　　)

A．a2＋b2＝5   B．a＋b＝－3

C．ab＝－2   D．ab＝2

解析：选ABD　由题意，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得解得∴ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故A、B、D正确．

6．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．

解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.

答案：{－1}

7．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．

解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，

∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，

且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}．

答案：{m|m<0}

8．解下列不等式：

(1)2＋3x－2x2＞0；

(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；

(3)x2－2x＋3＞0.

解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，

所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2，

故原不等式的解集是.

(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，

所以(2x＋1)(x－1)≥0，

解得x≤－或x≥1，

故原不等式的解集为.

(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，

所以原不等式的解集是R.

层级(二)　能力提升练

1．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．

解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．

答案：{x|x<5a或x>－a}

2．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为________．

解析：由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，

∴且a<0，

∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，

∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0.

答案：{x|x<0}

3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.

解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.

则方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，

由a2－a＝a(a－1)可知，

①当a<0或a>1时，a2>a，∴原不等式的解为x>a2或x<a.

②当0<a<1时，a2<a，∴原不等式的解为x>a或x<a2.

③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.

④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.

综上可知：

当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．

4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．

解：由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，故即

所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，

解得＜x＜2.

即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.

层级(三)　素养培优练

已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．

解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，

由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，

所以a<－1或a>.

若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，

所以3－2a>，

此时不等式的解集是；

若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，

所以3－2a<，

此时不等式的解集是.

综上，当a<－1时，原不等式的解集是；当a>时，原不等式的解集是.