高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后复习题

课时跟踪检测（三十五） 同角三角函数的基本关系

层级(一)　“四基”落实练

1．sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　)

A．－　　　     B．－　    　C．　　　 D．

解析：选B　因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，则原式＝－＝－.

2．已知sin α＝，，则tan α的值为(　　)

A．－       B．          C．－2  D．2

解析：选A　因为sin α＝，，

所以cos α＝－＝－，

则tan α＝＝－.

3．若tan θ＝3，则等于(　　)

A. ]        B．－         C.  D．－

解析：选A　因为tan θ＝3，

所以＝＝.

4．(多选)若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是(　　)

A．tan α＝－

B.＝sin α－cos α

C．cos α＝－

D.＝sin α＋cos α

解析：选BC　由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错误；

因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，sin α＋cos α的符号不确定，

所以＝＝sin α－cos α，故B、C正确，D错误．

5．(多选)若角α为钝角，且sin α＋cos α＝，则下列选项中正确的有(　　)

A．sin α＝  B．cos α＝－

C．tan α＝－  D．sin αcos α＝－

解析：选ACD　∵角α为钝角，∴sin α＞0，cos α＜0，

联立方程组解得

∴tan α＝＝－，sin α·cos α＝－.

观察选项，选项A、C、D符合题意．

6．已知＝－5，那么tan α＝________.

解析：易知cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan α＝－.

答案：－

7．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α· ＝________.

解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0.

答案：0

8．已知sin θ＋cos θ＝－，求：

(1)＋的值；

(2)tan θ的值．

解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－，

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，所以＋＝＝.

(2)由(1)得＝－，

所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，

所以tan θ＝－3或tan θ＝－.

层级(二)　能力提升练

1．在△ABC中，sin A＝，则角A的值为(　　)

A.       B．         C.         D．

解析：选C　由题意知cos A＞0，即A为锐角．

将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A，

∴2cos2A＋3cos A－2＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．∴A＝.

2.的值为(　　)

A．1      B．－1        C．sin 10°  D．cos 10°

解析：选B　

＝＝

＝＝－1.

3．化简：＝________.

解析：原式＝

＝

＝

＝

＝

＝＝＝.

答案：

4．化简下列各式：

(1)；

(2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；

(3) ＋ .

解：(1)＝

＝＝＝1.

(2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α

＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α

＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α

＝(cos2α＋sin2α)2＝1.

(3) ＋

＝ ＋

＝ ＋

＝＋.

∵π＜α＜π，∴－1＜sin α＜0，－1＜cos α＜0，∴1＋cos α＞0,1－cos α＞0，∴原式＝－－＝－.

5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，

故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，解得m＝.

(3)由

得或

又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.

层级(三)　素养培优练

设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

解：假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0， ①

∵sin α<0，cos α<0，

∴sin α＋cos α＝－m<0， ②

sin αcos α＝>0. ③

又sin2α＋cos2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.

把②③代入上式得2－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.

∵m1＝2不满足条件①，舍去；

m2＝－不满足条件③，舍去．

∴满足题意的实数m不存在．