阶段验收评价（五） 三角函数 试卷

阶段验收评价（五） 三角函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为(　　)

A. cm2　　B．π cm2　　C．2π cm2　　D．4π cm2

解析：选C　弧长为π cm的弧所对的圆心角为，

∴圆半径r＝＝4(cm)，

∴这条弧所在的扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．

2．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋cos α的值等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：选B　∵α的终边过点(12，－5)，

∴r＝＝13，

则sin α＝－，cos α＝，

则sin α＋cos α＝－＋×＝－＋＝.

3．已知sin＝，则cos＝(　　)

A.   B．－

C．－   D.

解析：选D　∵sin＝，

∴cos＝sin＝sin

＝.

4.已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1，ω＝　　 　 B．A＝2，ω＝

C．A＝1，ω＝   D．A＝2，ω＝

解析：选B　由图象可知，A＝1，＝1.5，

∴A＝2，T＝6，

又6＝T＝，∴ω＝，故选B.

5．已知在平面直角坐标系中，角α和β的始边为x轴的非负半轴，终边关于y轴对称且α，β∈(0，π)，cos α＝，则tan＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B.

C．－   D.

解析：选D　∵在平面直角坐标系中，角α和β的始边为x轴的非负半轴，终边关于y轴对称且α，β∈(0，π)，

∴β＝π－α.

∵cos α＝，

∴sin α＝＝，tan α＝＝，

∴tan＝tan＝＝.

6．已知α∈且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．cos α·tan α＜0   B．sin α·tan α＞0

C．cos α－tan α＜0   D．sin α－tan α＞0

解析：选D　已知α∈且sin α＞0，则α∈，所以cos α＜0，tan α＜0，

所以对于选项A：cos α·tan α＞0，故选项A错误．

对于选项B：sin α·tan α＜0故选项B错误．

对于选项C：cos α－tan α不能确定符号，故选项C错误．

对于选项D：sin α－tan α＞0，故选项D正确．故选D.

7．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点和，则要得到函数g(x)＝2sin ωx 的图象，只需把f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度  B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度   D．向右平移个单位长度

解析：选D　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点和，可知这两点分别为图象的最高点和最低点，

有＝－＝⇒T＝π，由T＝，可得ω＝2，满足0＜ω＜6.

(注：若这两点不为函数图象相邻的最高点和最低点，

则得出的ω不满足0＜ω＜6)．

再将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)求得φ＝，

所以f(x)＝2sin＝2sin，将其向右平移个单位可得到g(x)＝2sin 2x.

8．函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且图象关于x＝－π对称，则ω的值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D.

解析：选A　由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，

因为函数f(x)在上单调递增，

所以故0≤ω≤，

又因为图象关于x＝－π对称，

所以－πω＋＝＋kπ(k∈Z)，

所以ω＝－－k(k∈Z)．

因为ω＞0，此时k＝－1，所以ω＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．下列与412°角终边相同的角是(　　)

A．52°  B．778°

C．－308°  D．1 132°

解析：选ACD　因为412°＝360°＋52°，

所以与412°角终边相同的角可以表示为β＝k×360°＋52°，

当k＝－1时，β＝－308°；k＝0时，β＝52°；k＝2时，β＝772°；k＝3时，β＝1 132°.

10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象可能是(　　)

解析：选ABC　当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0＜a＜1时，T＞2π，且最小值为正数，A符合；当|a|＞1时，T＜2π，且最小值为负数，B符合，故选A、B、C.

11．将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为(　　)

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．为奇函数，在上单调递增

C．为偶函数，在上单调递增

D．周期为π，图象关于点对称

解析：选BD　将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故选项A不正确；函数g(x)为奇函数，当x∈时，2x∈，故函数g(x)在上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；函数g(x)的周期为π，其图象关于点(k∈Z)对称，故选项D正确．故选B、D.

12.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则以下关于f(x)性质的叙述正确的是(　　)

A．最小正周期为π

B．是偶函数

C．x＝－是其一条对称轴

D.是其一个对称中心

解析：选AC　由图象可得A＝2，由·＝－，解得ω＝2.

根据五点法作图可得2·＋φ＝，

解得φ＝－，

所以函数f(x)＝2sin.

函数f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；

显然该函数为非奇非偶函数，故排除B；

当x＝－时，f(x)＝－2，为最小值，所以x＝－是其一条对称轴，故C正确；

当x＝－时，f(x)＝－1，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知－＜α＜0，且cos α＝，

则的值为________．

解析：∵－＜α＜0，且cos α＝，

∴sin α＝－＝－，

∴＝

＝＝－.

答案：－

14．已知α满足sin α＝，那么coscos的值为________．

解析：∵cos＝cos＝sin，

∴coscos＝sincos

＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)

＝×＝.

答案：

15.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则函数的解析式为__________；对称中心为____________．

解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象知，

解得A＝4，b＝2.

又＝－＝2π，

所以T＝4π，所以ω＝＝.

所以y＝4sin＋2.

由图象知f＝2，得×＋φ＝0，

解得φ＝，

所以y＝4sin＋2.

令x＋＝kπ(k∈Z)，

解得x＝2kπ－(k∈Z)．

所以对称中心为(k∈Z)．

答案：y＝4sin＋2　(k∈Z)

16．已知函数f(x)＝2sin ωx(其中ω＞0)，若对任意x1∈，存在x2∈，使得f(x1)＝f(x2)，则ω的取值范围为________．

解析：由题意知，函数f(x)＝2sin ωx是奇函数，

因为对任意x1∈，都存在x2∈，

使得f(x1)＝f(x2)，

所以至少是个周期，

所以T＝×≤，解得ω≥，

则ω的取值范围为.

答案：

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知角α的终边经过点P.

(1)求sin α的值；

(2)求·的值．

解：(1)因为角α的终边经过点P，

r＝ ＝1，

由正弦函数的定义得sin α＝－.

(2)原式＝·＝－＝－，

由余弦函数的定义得cos α＝，

故所求式子的值为－2.

18．(12分)已知f(α)＝.

(1)求f的值；

(2)若a∈，sin＝，求f(α)的值．

解：(1)∵f(α)＝

＝＝－cos α，

∴f＝－cos＝－.

(2)∵α∈，sin＝，

∴α－还是锐角，

∴cos＝ ＝，

故f(α)＝－cos α＝－cos

＝－coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

19．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．

(1)试求ω的值；

(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．

解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，

所以－＋＝kπ，k∈Z，

所以ω＝－3k＋，k∈Z，

因为0<ω<1，所以k＝0，ω＝.

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]，

列表如下，

则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．

20．(12分)已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若θ∈，f＝，求sin的值．

解：(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x

＝(1＋2sin xcos x)－cos2x

＝sin 2x－＋

＝sin＋.

∴函数f(x)的最小正周期T＝π.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cos θ＋＝，

∴cos θ＝，

∵θ∈，∴sin θ＝－，

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，

∴sin＝sin 2θcos －cos 2θsin＝－.

21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

解：(1)设f(x)的最小正周期为T，

则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1.

又由解得

令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，

∴f(x)＝2sin＋1.

(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－.

∵x∈，

∴t∈，y＝sin t的图象如图所示．

∵sin t＝s在上有两个不同的解时，s∈，

∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解，则m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．

22．(12分)持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片扇形区域(如图1)上按照图2的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，∠MON＝，ON＝OM＝10 m，设∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S.

(1)用含θ的式子表示DC，OB的长；

(2)若此人布置1 m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩形宣传栏最多要花费多少元钱？

解：(1)在△ODC中，DC＝10sin θ，

在△OAB中，OB＝＝10sin θ.

(2)在△ODC中OC＝10cos θ，

从而S＝BC×CD＝100(cos θsin θ－sin2θ)

＝100

＝100

＝100sin－50，0<θ<，

当2θ＋＝，即θ＝时，S取得最大值100－50≈13.4，

所以布置此矩形宣传栏最多要花费13.4×40＝536元．