全册综合验收评价

全册综合验收评价

 (时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．设全集U＝{x∈N|x≤5}，A＝{x∈N|log2x＜2}，则∁UA等于(　　)

A．{0,4,5}　　　　　　　　　 B．{4,5}

C．{5}   D．{x|4≤x≤5}

解析：选A　∵A＝{x∈N|log2x＜2}＝{1,2,3}，全集U＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁UA＝{0,4,5}．

2．不等式≤1成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．－2＜x＜1  B．－2≤x＜1

C．－2≤x≤1  D．x＜－2

解析：选C　∵≤1，∴≤0，

解得－2≤x＜1.∴不等式≤1成立的一个必要不充分条件是－2≤x≤1.

3．已知P(－1，t)在角α终边上，若sin α＝，则t的值为(　　)

A.  B．－2

C．2  D．±2

解析：选C　∵P(－1，t)在角α终边上，sin α＝，

∴＝，解得t＝2.

4．若关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，则不等式bx2＋ax－3＞0的解集是(　　)

A.∪(1，＋∞)  B．

C．(－∞，－1)∪  D．

解析：选A　∵关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，

∴解得a＝1，b＝2，

∴所求不等式bx2＋ax－3＞0即为2x2＋x－3＞0，

解得x＜－或x＞1，

∴不等式bx2＋ax－3＞0的解集是∪(1，＋∞)．

5．设函数f(x)＝tan，若a＝f(log32)，b＝，c＝f(20.2)，则(　　)

A．a＜b＜c  B．b＜c＜a

C．c＜a＜b  D．b＜a＜c

解析：选D　∵f(x)在(0，π)上单调递增，

log32＝，log＝，且log25＞log23＞1，

∴0＜＜＜1，

∴0＜log＜log32＜1.

又1＜20.2＜2，

∴0＜log＜log32＜20.2＜π，

∴b＜a＜c.

6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若f＝0，则不等式f(2x－1)＜0的解集为(　　)

A.　　　　　 B．

C.  D．∪

解析：选A　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴若f＝0，

则不等式f(2x－1)＜0等价为f(|2x－1|)＜f，

即|2x－1|＜，即－＜2x－1＜，

得＜x＜，即不等式的解集为.

7．在△ABC中，若sin A＋cos A＝，则tan A的值为(　　)

A．±  B．

C．3  D．－3

解析：选D　由题意可知，A∈(0，π)，

由sin A＋cos A＝，①

两边平方可得1＋2sin Acos A＝，

则2sin Acos A＝－＜0.

∴sin A＞0，cos A＜0，

∴sin A－cos A＝＝，②

联立①②可得sin A＝，cos A＝－.

∴tan A＝＝－3.

8．若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：选C　根据题意，x∈，则1－4x＞0，

则＋＝＋

＝[4x＋(1－4x)]

＝5＋＋

≥5＋2×

＝9，

当且仅当1－4x＝2x，即x＝时等号成立，

则＋的最小值为9，

若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，

即不等式＋≥m恒成立，必有m≤9恒成立，

故实数m的最大值为9.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是(　　)

A．f(－2)＝4  B．若f(m)＝9，则m＝±3

C．f(x)是偶函数  D．f(x)在R上单调递减

解析：选AD　由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝9>0知m≤0，且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是A、D.

10．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)

A．ab＋bc＝2ac  B．ab＋bc＝ac

C.＝＋  D．＝－

解析：选AD　依题意设4a＝6b＝9c＝k，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，

对于A，ab＋bc＝2ac，即＋＝2，因为＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，

故A正确，B错误；

对于C，＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96≠＝2logk9＝logk81，故C错误；

对于D，－＝2logk6－logk4＝logk＝logk9＝，故D正确．

11．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f( x)＝sin(2x＋φ)(　　)

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

解析：选BD　函数f(x)图象向左平移个单位长度后的解析式为f(x)＝sin＝sin，

由题得f(0)＝sin＝1，解得φ＝－，

所以f(x)＝sin，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

解得x∈(k∈Z)，

即为函数f(x)的单调增区间；

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

解得x∈(k∈Z)，

即为函数f(x)的单调减区间．

所以当k＝0时，x∈时单调递增，B符合；

当k＝－1时，x∈时单调递增，D符合．

12．关于函数f(x)＝sin 2x＋sin x＋cos x，以下说法中正确的是(　　)

A．最小正周期为2π  B．最小值为－

C．在区间单调递增  D．关于x＝对称

解析：选ABD　∵f(x＋2π)＝sin[2(x＋2π)]＋sin(x＋2π)＋cos(x＋2π)＝sin 2x＋sin x＋cos x＝f(x)，

∴函数f(x)的最小正周期为2π，故A正确；

设t＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，

∴t2＝(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x，

∴sin 2x＝t2－1，

∴y＝sin 2x＋sin x＋cos x＝t2－1＋t＝t2＋t－1＝2－，t∈[－，]，

∴当t＝－时，函数取得最小值－，故B正确；

由B可知C错误；

∵f＝sin＋sin

＋cos＝sin(π－2x)＋cos x＋sin x

＝sin 2x＋sin x＋cos x＝f(x)，

∴函数关于x＝对称，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知x＞0，则的最大值为________．

解析：因为＝， 又x>0时，x＋≥2 ＝4, 当且仅当x＝， 即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.

答案：

14.的值为________．

解析：＝＝＝＝－1.

答案：－1

15．设函数f(x)＝那么函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．

解析：当x≤0时，f(f(x))＝f(2x)＝log22x＝x；

当0<x≤1时，f(f(x))＝f(log2x)＝2log2x＝x；

当x>1时，f(f(x))＝f(log2x)＝log2(log2x)．

所以由f(f(x))＝1得x＝1或x＝4，

即函数有两个零点．

答案：2

16．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ).

(1)函数f(x)的最小正周期为________；

(2)若函数f(x)在区间上有且只有三个零点，则φ的值是________．

解析：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝＝π.

(2)由x∈，可得2x＋φ∈，

根据函数f(x)在区间上有且只有三个零点，

可得解得

所以φ＝－.

答案：(1)π　(2)－

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)U＝R，非空集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，集合B＝{x|(x－a)(x－a2－2)＜0}．

(1)a＝时，求(∁UB)∩A.

(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3.∴A＝(2,3)．

∵a2＋2＞a，

∴集合B＝{x|(x－a)(x－a2－2)＜0}＝(a，a2＋2)．

a＝时，B＝.

∴∁UB＝∪.

∴(∁UB)∩A＝.

(2)若x∈B是x∈A的必要条件，

则解得a≤－1或1≤a≤2.

∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．

18．(12分)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.

(1)求f(3)的值；

(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数；并由此求出函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值．

解：(1)∵f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9，

∴f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.

(2)令t＝log3x，则－2≤t≤2，且f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2，

令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，

故当t＝－时，函数g(t)即f(x)取得最小值为－，此时求得x＝3－＝；

当t＝2时，函数g(t)即f(x)取得最大值为12，此时求得x＝9.

19．(12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2cos2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若f(x)在区间上的最小值为1，求m的最小值．

解：(1)因为f(x)＝(1－cos 2x)＋

＝－cos 2x＋＋2，

＝sin 2x－cos 2x＋2＝sin＋2，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ (k∈Z)，

得f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin＋2，

因为x∈，所以2x－∈.

要使f(x)在区间上的最小值为1，

即y＝sin在区间上的最小值为－1.

所以2m－≥，即m≥.

所以m的最小值为.

20．(12分)党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3 000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，

因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，

因为底面长为x米，所以底面的宽为，

依题意有y＝3 000＋150×16＋120×2＝5 400＋480，

因为x＞0，由基本不等式和不等式的性质可得5 400＋480≥5 400＋480×2＝9 240，

当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，

所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9 240元．

21．(12分)已知函数y＝f(x)是二次函数，且满足f(0)＝3，f(1)＝f(3)＝0.

(1)求y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(log2x)，x∈[2,8]的最小值；

(3)若x∈[1，t](t＞1)，试将y＝f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t)．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，

因为f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，

又f(1)＝f(3)＝0，

所以解得

所以f(x)＝x2－4x＋3.

(2)令t＝log2x，x∈[2,8]，

则y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，t∈[1,3]，

所以当t＝2即x＝4时，ymin＝－1.

(3)f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1，t](t＞1)，

①当1＜t≤2时，f(x)在[1，t]上单调递减，

所以f(x)的最小值g(t)＝t2－4t＋3.

②当t＞2时，f(x)在[1,2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，

所以f(x)的最小值g(t)＝－1，

综上所述，g(t)＝

22．(12分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.

(1)求函数f(x)在区间上的最小值；

(2)若f(x)＝－，x∈，求cos 2x的值；

(3)若函数y＝f(ωx)(ω＞0)在区间上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．

解：(1)f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1

＝2sin xcos x＋2cos2x－1

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

∵x∈，∴2x＋∈，

故2sin∈[－1,2]，

∴函数f(x)在区间上的最小值为－1.

(2)∵f(x)＝2sin＝－，

∴sin＝－，

又∵x∈，∴2x＋∈，

故cos＝，

∴cos 2x＝cos

＝coscos＋sinsin

＝.

(3)当x∈时，

2ωx＋∈，

于是k∈Z.

∴k∈Z.

∵ω＞0，∴ω的取值范围为.