高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性练习

【优选】1.2 数列的函数特性-2作业练习

一．填空题

1．已知列中，中，中，则_____，____.

2．若数列是正项数列，且，则_______．

3．数列,,, 的一个通项公式是______．

4．对于函数，部分和的对应关系如下表：

数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上，则______.

5．已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．

6．数列满足，则等于__________.

7．已知数列{}中,,则_______

8．已知数列满足且，则_______．

9．已知数列满足，则的最小值为______.

10．设数列中，，，则_________．

11．已知数列满足，，，则__________．

12．数列满足，（且），则数列的通项公式为________.

13．数列满足，，写出数列的通项公式__________．

14．已知，若数列满足，，则等于________

15．数列中，，，等于的个位数，则________

16．已知数列满足，()，数列是单调递增数列，且，(),则实数的取值范围为_______.

17．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．

18．在数列中，，当时，，则_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】由题意首先利用累加法求得数列的通项公式，然后由通项公式可得的值.

【详解】

由题意可得：，

则：

.

则.

【点睛】

本题主要考查数列的递推关系，累加法求解数列通项公式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．【答案】

【解析】有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立。

【详解】

数列是正项数列，且

所以，即

时

两式相减得，

所以（ ）

当时，适合上式，所以

【点睛】

本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题。

3．【答案】

【解析】通过观察分子．分母的规律，猜想出数列的通项公式.

【详解】

通过观察可知，分子为等比数列，即；分母为等差数列，即.所以数列的通项公式是.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查根据数列的前几项找规律，猜想数列的通项公式，属于基础题.

4．【答案】7569

【解析】由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得,代值计算可得.

【详解】

数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上

由图表可得,, , ，

数列是周期为4的周期数列

故答案为:.

【点睛】

本题考查函数和数列的关系,涉及周期性,属基础题.

5．【答案】

【解析】由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂项相消求和得解.

【详解】

由已知得

所以又因为

所以

所以

所以

；

累乘得

所以

所以=

所以

累加求和得

故答案为

【点睛】

本题关键将已知表达式因式分解得递推式，再运用累乘和裂项相消求和的方法求解，属于难题.

6．【答案】15.

【解析】先由，，结合，求出，然后再求出．

【详解】

，，，

，．

．

故答案为：15.

【点睛】

本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．

7．【答案】

【解析】分别写出和时的式子，然后两式相除，得到答案.

【详解】

由题意可知，

时，，

时，，

下式比上式得a5＝

【点睛】

本题考查数列的基本概念，属于简单题.

8．【答案】

【解析】观察递推式为周期型，可通过令进行整体代换，求解出是以6为周期的周期数列，再化简求值即可

【详解】

解：由题，所以是以6为周期的周期数列，故．

【点睛】

本题考查的是数列的周期性，一般在进行代换时，是在下标的基础之上再加上相同下标进行代换，此法跟函数周期性的求解法类似

9．【答案】

【解析】利用累加法求出的通项，再利用双勾函数的性质可求的最小值.

【详解】

因为，，，，

所以，

所以，其中，又也符合，

故，，，

因为函数在上为增函数，在为增函数，

故的最小值可在或取得.

当时，；当时，；

故的最小值为，故填.

【点睛】

数列的最值的讨论，可借助数列的单调性，也可以研究数列对应的函数的单调性，注意函数的单调性与数列单调性的区别.

10．【答案】

【解析】将等式变形为，可得出数列为常数列，由可求出数列的通项公式.

【详解】

由，得，所以，数列是常数列，且，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用构造法求数列通项，也可以利用累乘法求数列通项，考查计算能力，属于中等题.

11．【答案】-2

【解析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.

【详解】

根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到

故得到

故答案为：-2.

【点睛】

这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.

12．【答案】

【解析】利用累加法和裂项求和得到答案.

【详解】

当时满足

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.

13．【答案】

【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此

点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

14．【答案】

【解析】根据首项．递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.

【详解】

，所以数列是以5为周期的数列，

因为20能被5整除，所以.

【点睛】

本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.

15．【答案】4

【解析】根据等于的个位数，依次求得，由此判断出数列从第项起，是周期为的数列，由此求得的值.

【详解】

，所以. ，所以. ，所以. ，所以，，所以. ，所以. ，所以，，所以. ，所以. ，所以以此类推，数列从第项起，以，六个数为一个周期出现.故.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查根据新定义的数列寻找周期求具体一项的值，考查数列的周期性，属于基础题.

16．【答案】

【解析】先求得的通项公式，根据是单调递增数列列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

由得，故数列是以为首项，公比为的等比数列，所以.所以.由于是单调递增数列，且，所以，即，解得，即.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列的单调性，考查不等式的解法，属于中档题.

17．【答案】

【解析】本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围。

【详解】

，

因为该数列是递减数列，

所以

即

因为

所以实数的取值范围是。

【点睛】

本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值。

18．【答案】3

【解析】由，，用累加法求出，当时，符合，即可求出.

【详解】

在数列中，当时，，，，

以上个累加，得，

即：，验：当时，符合.

所以：，即

故答案为：3

【点睛】

本题考查了数列的递推式，累加法求数列的通项公式，注意检验，属于基础题.