高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性同步训练题

【名师】1.2 数列的函数特性-1作业练习

一．填空题

1．已知数列是递减数列,且对于任意正整数恒成立,则的取值范围是_________.

2．在数列中，是它的第_____项.

3．若数列的通项公式为，则______．

4．设数列满足 ， (n=1，2，），则 ________.

5．数列由，确定，则__________.

6．在数列中，，且对于任意自然数，都有，则______．

7．在数列中，，，则数列的通项______

8．各项均为正数的数列满足，，则__________．

9．数列,,,，,的一个通项公式为_______．

10．数列7，77，777，7777的一个通项公式是______．

11．首项为1的数列满足：当时，，记数列的前项和为，前项积为，则__________．

12．数列满足，（且）.若数列为递增数列，数列为递减数列，且，则__________．

13．已知数列满足：，，则__________.

14．已知数列满足，则数列的通项公式是______．

15．数列满足，且，.若，则实数__________．

16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若数列递增，则的取值范围是__________.

17．在数列中， ，，则数列的通项____．

18．已知数列满足，，若集合中有个元素，则实数的取值范围是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】是递减数列，恒成立

即对于n∈N恒成立．而在时取得最小值3，，

故答案为

点睛：数列单调性的考查，直接利用递减数列符合恒成立，把问题转化为恒成立问题来解，采用变量分离很容易得解.

2．【答案】

【解析】注意到通项公式为，需要是的倍数，将代入验证可知是数列的第项.

【详解】

依题意可知数列的通项公式为，当时，.故是第项.

【点睛】

本小题主要考查数列的通项公式，考查分析和推理能力，属于基础题.

3．【答案】-1

【解析】利用行列式求出数列的通项公式，然后利用数列的极限求解即可．

【详解】

数列的通项公式为，

则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查数列的极限的求法，通项公式的求法，考查计算能力．

4．【答案】

【解析】由，

所以.

5．【答案】91

【解析】利用递推关系一步步地把通项用首项和关于n的表达式表示出来，即可求得结论．

【详解】

由题得，an=an﹣1+2（n﹣1）+（﹣1）n﹣1

=an﹣2+2（n﹣2）+2（n﹣1）+（﹣1）n﹣2+（﹣1）n﹣1

=an﹣3+2（n﹣2）+2（n﹣1）+（﹣1）n﹣3+（﹣1）n﹣2+（﹣1）n﹣1

=

=a1+2？1+2？2++2（n﹣2）+2（n﹣1）+（﹣1）1+（﹣1）2++（﹣1）n﹣1

=2++（﹣1）1+（﹣1）2++（﹣1）n﹣1.

所以a10=2+9×10﹣1=91

故答案为：91.

【点睛】

数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项．

6．【答案】7

【解析】利用递推关系由累加可求.

【详解】

根据题意，数列{}中，，则，

则；

故答案为：7

【点睛】

本题主要考查利用数列的递推关系求解数列特定项，属于简单题目.

7．【答案】

【解析】根据递推公式，结合累加法，可求得通项公式。

【详解】

由题意可得：

利用累加法得：，

又，于是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了递推公式与累加法的应用，属于基础题。

8．【答案】27

【解析】先求得数列周期再计算即可

【详解】

由知,,两式相除得又，得则数列周期为6，又则，故

故答案为27

【点睛】

本题考查数列递推关系求值，数列的周期性，推理数列的周期为6是突破点，准确计算是关键，是难题

9．【答案】

【解析】分别观察分子分母的特点，归纳出通项公式来.

【详解】

数列,,,,，

观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，

由此得出该数列的一个通项公式为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用观察法求解数列的通项公式，发现蕴含的规律是求解的关键.

10．【答案】

【解析】根据所给的这个数列的特点，先写出9，99，999，9999的通项是，再乘以九分之七即可得解。

【详解】

解：先写出9，99，999，9999的通项是，

∴数列7，77，777，7777的一个通项公式．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了数列的概念及数列表示方法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去寻找通项公式，属于基础题．

11．【答案】1

【解析】先由得到，进而可得，再由得到，，整理之后即可得出结果.

【详解】

由题意得，，故，即，由，可以求得；由，可以求得，故.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查数列的性质，熟记递推数列的应用即可，属于常考题型.

12．【答案】4950

【解析】列举出数列的前几项，找出规律，然后利用并项求和法以及累加法求得的值.

【详解】

由于数列为递增数列，数列为递减数列，可求得， .故 .

【点睛】

本小题主要考查递推数列求数列的通项公式，考查并项求和法以及累加法，属于中档题.

13．【答案】6

【解析】运用数列的递推式可解决此问题．

【详解】

解：根据题意得，令n＝1得，2a2﹣3a1＝2，

∵a1＝2，

∴a2＝4，

令n＝2得，3a3﹣4a2＝2，

∴a3＝6，

故答案为：6.

【点睛】

本题考查数列的递推式的简单应用，属于简单题．

14．【答案】

【解析】【详解】

由可得，

则．

以下用累加法得，．

得到，

从而，．

15．【答案】

【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期为3，得到，再由，，，列出方程组，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，数列满足且，，

令，可得，即，解得，

令，可得，即，解得，

同理可得 ，可得数列的周期为3，

又由，所以，所以，即，

又由，解得，

所以.

【点睛】

本题主要考查了数列的性质的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据数列的周期性，求得的值，再利用的值，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16．【答案】

【解析】要想数列递增，只需对于 ，恒成立即可，分类讨论求出的取值范围。

【详解】

因为数列递增，所以在条件下恒成立，

，

当为奇数时，，

当为偶数时，，

综上所述的取值范围是。

【点睛】

本题考查了已知数列的单调性求参数的取值范围问题。

17．【答案】2n+3

【解析】根据题干得到将式子累加得到通项.

【详解】

数列中，，，根据这一表达式继续推导得到

将这些式子累加得到：

将代入得到.

故答案为：.

【点睛】

这个题目考查了数列通项的求法，根据递推关系得到数列前后两项的关系，通过累加法得到式子的和，进而得到数列通项.属于中档题.

18．【答案】.

【解析】由题，，，先求得数列的通项，然后代入题中，利用参变分离，再构造新函数，利用导函数求单调性，再讨论集合只有3个元素，可得最后的结果.

【详解】

由题，因为数列满足，，所以

即数列是以2为首项，公比为2的等比数列，

所以

所以，化简可得

记

当，此时是单调递减的；

因为 当，

集合中有个元素，所以这三个元素只能是

所以

故答案为

【点睛】

本题考查了数列，函数，集合的综合知识，利用递推数列求通项公式．构造函数，利用导函数判断单调性是解决题目的关键，属于难题.