高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率同步练习题

【精编】1.2 瞬时变化率-1作业练习

一．填空题

1．曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为________．

2．已知函数，满足恒成立的最大整数为__________．

3．函数的图象在点处的切线方程为______.

4．已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________．

5．定义两条曲线的“正交点”：曲线与曲线交于点，且在处的切线互相垂直．下列各组曲线存在“正交点”的是________（填序号）．

①与；②与，；③与，

6．曲线在点处的切线斜率为，则在该点处的切线方程是___________.

7．曲线在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形面积为______．

8．设函数在内可导，其导函数为，且，则在点处的切线方程为__________.

9．函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________.

10．曲线在点(0，f(0))处的切线方程为______________.

11．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则的值为________.

12．曲线在点处的切线方程为___________.

13．若曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数的值为____.

14．已知点，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作抛物线的切线，与交于点，则的最小值为______．

15．函数在点处的切线方程为__________.

16．已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________．

17．已知函数，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于轴，则的取值范围是______．

18．已知函数，则函数在处的切线方程为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由可求得切点的横坐标，结合函数的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，该函数的定义域为，，

直线的斜率为，故所求切线的斜率为，由，可得，

，故切点为，

所以，所求切线的方程为，即.

故答案为：.

2．【答案】2

【解析】分析：已知条件等价于恒成立，临界条件为与有一个交点，即两曲线相切，利用导数的几何意义，求出切点，构造函数，利用零点存在性定理求出，利用对勾函数求出m的取值范围，从而得到答案.

详解：函数的定义域为，

结合指数，对数函数的图像变换知，

当时，恒成立，故考虑的情况

等价于，临界条件为与有一个交点，

设两曲线相切，切点的横坐标为，，

则利用导数的几何意义可知，解得：，即

令，求导，故单调递增，

又，

由零点存在性定理知，存在，使得，即

，令，则

则，，所以函数在上单调递减，

.

所以最大整数为2.

故答案为：2

【点睛】

方法点睛：本题考查不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

3．【答案】

【解析】分析：利用切点和斜率求得切线方程.

详解：切点为，

，

故斜率为，

所以切线方程为.

故答案为：

4．【答案】3

【解析】分析：根据偶函数求出时的解析式，并求出其导数；由导数几何意义得且 联立求得与值.

详解：当时，，，

因为为偶函数，所以，

所以时，，，

因为曲线在点处的切线方程为

所以，所以，，

可得．

故答案为：3

5．【答案】③

【解析】分析：分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解；

详解：解：①联立得方程组解得或或，设，，则，，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，综上与不存在“正交点”；

②与，，所以，因为直线的斜率为，所以解得，故切点坐标为，又因为，所以点不在直线上，故不存在“正交点”

③与，，假设两曲线存在“正交点”，如图设为正交点，直线为圆的切线，直线为抛物线的切线，由题意，得直线需过原点，对求导，得，所以，解得（负值舍去），所以，将点坐标代入，得，因为方程在上有解，所以两曲线存在“正交点”；

故答案为：③

【点睛】

本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.

6．【答案】.

【解析】分析：根据题设条件，结合，求得，进而求得，利用直线的点斜式方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

因为曲线在点处的切线斜率为，

可得，解得，即，则，

该点处的切线方程为，即.

故答案为：.

7．【答案】8

【解析】分析：先求出切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，进而求三角形面积.

详解：由题意可得，则所求切线的斜率，从而所求切线方程为，即．令，得；令，得．则所求三角形的面积为．

故答案为：8

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；

(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ，再写出切线方程：.

8．【答案】

【解析】分析：由求得，再求其在的导数值即切线的斜率和在处的函数值，代入直线的点斜式方程可得答案.

详解：令，则，所以，

因为，所以，得，

所以，

由点斜式方程得，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了由导数的几何意义及求切线方程，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：由导数的几何意义可得函数的图象在点处的切线斜率，再由直线平行的性质即可得解.

详解：对函数求导得，

所以，所以函数的图象在点处的切线斜率为，

又该切线与直线平行，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数几何意义的应用，考查了直线平行的性质，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．

详解：由已知求导得所以

所以曲线在点处切线方程为：即

故答案为：．

11．【答案】

【解析】分析：求得，得到，根据题意，得出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，所以，

因为函数的图象在点处的切线的斜率为，

可得，即，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线斜率，然后利用点斜式求解切线方程．

详解：将点代入成立，即点为切点．

因为，所以，

所以切线斜率．

所以切线方程为，

即．

故答案为：．

13．【答案】1

【解析】分析：求出原函数的导函数，由切线的倾斜角都为锐角，知导函数大于0恒成立，转化为一元二次不等式大对应二次方程的判别式小于0，进一步求解关于的不等式得答案.

详解：由，求导得,

曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,

对任意实数，恒成立，故，

即，解得：，整数的值为1.

故答案为：1

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，理解函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率时解题的关键，考查了数学转化思想方法，是中档题.

14．【答案】5

【解析】分析：根据导数的几何意义结合直线垂直的斜率关系得出为线段的垂直平分线，进而得出，从而得出.

详解：连接，由题意可得，由得，设，则，则切线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，又，所以为线段的垂直平分线，所以，所以

故答案为：

【点睛】

关键点睛：过抛物线上一点作垂直准线于点，则抛物线在点处的切线为的平分线及线段的垂直平分线（为抛物 线的焦点）.

15．【答案】

【解析】分析：求出切点坐标和切线的斜率，即得解.

详解：由题得，所以切点坐标为.

由题得，

所以切线方程为.

故答案为：

【点睛】

结论点睛：过曲线上一点的切线方程为.

16．【答案】

【解析】分析：先用导数求出切线的方程，分析得直线的方程为，求出，表示出，用“设而不求法”表示出，从而求出的范围.

详解：设切点，由抛物线，

∴切线，

同理切线，

又点是两条切线的交点，所以.

所以直线的方程为，即.

此直线恒过，则.

，消去，得，

∴，

∴.

，即，

令，则，

即，解得，

，

即.

故答案为：.

【点睛】

在研究直线与抛物线的位置关系要注意：

（1）可以用导数求切线，有时可以简化运算；

（2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线相交的一般方法.

17．【答案】

【解析】分析：求出，构造函数，利用的单调性和图象可得答案.

详解：因为函数，所以，

又曲线在不同的三点，，处的切线均平行于轴，所以有3个不同的解，即，

令，则，当时，或；当时，，所以在时有极小值为，

结合函数图象可知，，即．

故答案为：.

18．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义求切线方程在处的斜率，并求出，即可写出切线方程.

详解：由题意，，即，而，

∴切线方程为，整理得.

故答案为：.