高中北师大版 (2019)2.2 导数的几何意义达标测试

【精挑】2.2 导数的几何意义练习

一．填空题

1．已知函数，则__________.

2．一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是______米/秒

3．已知曲线：，曲线：，

（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；

（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.

4．若曲线在处切线的倾斜角为θ，则的值为________.

5．曲线y＝x3－2x＋1在点处的切线方程为_______．

6．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.

7．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲．乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲．乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

8．若直线是曲线的一条切线，则实数       ．

9．若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.

10．曲线在点处的切线的方程为__________．

11．已知，若过点的动直线与有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为，，，设线段的中点是，则_________；的取值范围为__________.

12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____或_____.

13．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.

14．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则     ；函数在处的导数       ．

15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．

16．已知函数为上的奇函数，若当，，则函数在处的切线方程为______.

17．曲线在点处的切线方程是______.

18．曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解。

详解：根据导数的定义可知：；

由于，故；

则；

故答案为：-1

【点睛】

本题考查导数的定义的应用，利用导数和极限之间的关系是解决本题的关键。

2．【答案】4

【解析】首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解.

详解：由题意，物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，

则，

当时，，即3秒末的瞬时速度为4米/秒.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了导数的概念．基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.

3．【答案】－2     

【解析】(1)由已知分别求出曲线在处的切线的斜率及曲线在处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得的值;

(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线斜率为,再求出过曲线上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.

详解：(1),则曲线在处的切线的斜率,

在处的切线的斜率,

依题意有,即;

(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,

则与垂直的直线的斜率为,

而过上一点处的切线的斜率,

依题意必有,解得,

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.

4．【答案】

【解析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把化成正切即可.

详解：由于，则，

故

故答案为：.

【点睛】

考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题.

5．【答案】

【解析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.

详解：由，得，

在点处的切线的斜率为，

又，

所以所求切线方程为：，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.

6．【答案】e

【解析】利用导数的几何意义，结合题中的斜率，即可求得.

【详解】

因为，又处切线的斜率为2

故由导数几何意义可知：

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属基础题.

7．【答案】①②③

【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果

详解：表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲．乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查斜率应用．切线斜率应用．函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

8．【答案】

【解析】详解：设切点为,因,故切线的斜率,则,即.所以切点代入可得,故应填答案.

考点：导数的几何意义及运用．

【易错点晴】

本题以直线是曲线的一条切线为背景,考查的是导函数几何意义及导数语切线方程之间的关系的应用问题.解答本题的关键是搞清导函数值是函数在切点处的导函数的值就是切线的斜率,求解时先将切点的坐标设出来,然后再借助这些条件建立方程求出切点坐标为.再将其代入求出,从而使得问题最终获解.

9．【答案】

【解析】求出函数在处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.

详解：因为.

所以,

所以 .

因为曲线在点处的切线与直线平行,

即.

故答案为:.

【点睛】

本题考查函数的导函数的几何意义,属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.

10．【答案】

【解析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.

详解：

带入得切线的斜率，

切线方程为，整理得

【点睛】

本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.

11．【答案】1     

【解析】先设直线并联立方程得到B，C坐标满足的关系和斜率与的关系，再利用相切的临界状态，得有三个不同交点时斜率的范围，即得的范围.

详解：设，，直线的方程为，

则由得或，所以.

又为线段的中点，所以.

又，

设函数上的切点为，

由切线过点知，切线方程为，，

又点在切线方程上，

所以，整理得，

解得或，所以切线的斜率为和8，

所以，所以.

【点睛】

本题考查了利用函数切线解决其图像交点的问题，属于中档题.

12．【答案】     

【解析】根据题意可设，结合导数的运算及几何意义可得，解出，从而可得点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求出切线的方程.

详解：由题意曲线在点处的切线斜率为1，设，

，∴，解得或，

∴或，

∴切线的方程为即或.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解.

详解：因为函数，

所以，

又因为曲线在处的切线与直线平行，

所以，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．【答案】2 ；-2

【解析】；．

15．【答案】1

【解析】设出函数的切点，对函数求导，求出曲线的切线方程，同理求出曲线的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线重合进行求解即可.

详解：曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，

曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，由题意可知：

.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.

16．【答案】

【解析】先根据奇偶性得当时，，再根据导数的几何意义求解即可得答案.

详解：解：因为是奇函数，

所以当时，，

所以，

所以处的切线斜率.

因为时，

所以在处的切线的方程是，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，由奇偶性求函数解析式，考查运算能力，是中档题.

17．【答案】.

【解析】求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切线的方程.

详解：,

,

,

在点处的切线方程,

即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

18．【答案】

【解析】根据题意，设切点，利用导数的几何意义得曲线在点处的斜率，建立等量关系，解得即可求出，再代入曲线即可得坐标.

详解：由题意，设切点坐标为，由，得，

所以，曲线在点处的切线的斜率，又切线与直线平行，

所以，，解得，故.

所以，点坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线平行的判定，属于基础题.