北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念精练

【精品】2.1 导数的概念优选练习

一．填空题

1．曲线在点处的切线方程与直线垂直，则______．

2．曲线在点处的切线方程为__________．

3．已知函数为偶函数，当时，，则函数在处的切线方程为________．

4．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

5．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为______．

6．已知曲线在处的切线方程为，则实数_____

7．函数在点处的切线方程为__________________．

8．曲线在点处的切线在轴上的截距为___________.

9．函数在处的切线方程是_______.

10．曲线在点处的切线的斜率为__.

11．已知函数的导函数是，若的图像在点的处的切线过点，则＝________；

12．已知为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，，分别是该抛物线在两点处的切线，相交于点，则_________

13．正弦曲线上一点，正弦曲线以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是______.

14．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为______.

15．函数在处的切线斜率为__________.

16．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.

17．若曲线在点处的切线方程为，则______.

18．曲线在点处的切线方程为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由点在曲线上，即可求出，再求出曲线在点的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为，求出，即可得解；

详解：解：∵是的点，则，，显然在点处的斜率，

则切线方程为，

∵直线与直线垂直，则，显然，

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念．知识的掌握程度，属于基础题．

2．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得所求切线的方程.

详解：点在曲线上，由题意，，切线斜率为，

因此，所求方程为，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程，考查计算能力，属于基础题.

3．【答案】

【解析】分析：依题意，可求得时的解析式为，求导，可得曲线在处的切线的斜率，继而可得答案．

详解：因为函数是偶函数，当时，，所以当时，，

所以，

所以，

又，

所以，

所以曲线在处的切线方程为．

故答案为：．

【点睛】

此题考查导数的几何意义，根据导函数求得切线斜率，利用直线经过的点和斜率写出切线方程.

4．【答案】

【解析】分析：函数有三个零点，可知和的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.

详解：令，

函数有三个零点，则和的图象有三个交点，

当时，，且；当时，；是过点的折线.

先考虑特殊情况，若折线与在上存在相切，设切点为，

由，可得切线斜率为，则切线方程为，

因为切线过点，所以，

解得，即切点为，切线斜率为1，

切线方程为，此时；

若折线与在上相切，设切点为，

由图象可知，且，

令，

方程整理得，

则，解得，

因为在上最大值为，

所以，即，

计算可知，，所以；

①当时，，两个函数没有交点，不符合题意；

②当时，与的图象在上有1个交点，

在上没有交点，在上有2个交点，共有3个交点，符合题意；

③当时，与的图象在上有1个交点，

在上至多有1个交点，不符合题意；

④当，

即时，与的图象在上有1个交点，

在上有2个交点，在上没有交点，共有3个交点，符合题意.

⑤当时，与的图象在上有1个交点，

在上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.

5．【答案】

【解析】分析：利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.

详解：因为函数是偶函数，

所以当时，，因此，

所以曲线在处的切线的斜率为：，

而，所以曲线在处的切线方程为：

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了曲线的切线求法，考查了导数的几何意义，考查了偶函数的性质，考查了数学运算能力.

6．【答案】

【解析】分析：根据切线斜率为2，结合导函数求解，写出切线方程即可得解.

详解：由题曲线在处的切线方程为，

所以，，所以，

所以切点为，切线方程为，即，

所以b=.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据曲线在某点处的切线方程求解参数的取值，关键在于熟练掌握导数的几何意义，根据导数值与切线斜率建立等量关系求解.

7．【答案】

【解析】分析：利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.

详解：，，∴切线方程为：，化简得：．

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：算出和，然后求出切线方程即可.

详解：由得，

所以曲线在点处的切线的斜率为，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即，

所以切线在轴上的截距为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是导数的几何意义，较简单.

9．【答案】

【解析】分析：求出原函数的导函数，得到，再求出，然后列出利用切线方程可得答案.

详解：求导函数可得，

当时，，

，切点为，

曲线在点处的切线方程是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查切线方程问题，属于简单题

10．【答案】4

【解析】分析：求得函数的导数，代入，可得所求切线的斜率.

详解：的导数为，

可得曲线在处的切线的斜率为，

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于容易题.

11．【答案】1

【解析】分析：求出函数的导数，求出切线方程，得到关于的方程，解出即可；

详解：，，

又，切线方程为，

切线过点，

，

解得；

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，属于基础题.

12．【答案】0

【解析】分析：首先根据题意得到直线：，与抛物线联立得到两点坐标，再利用导数求出的斜率，得到，从而得到。

详解：抛物线的焦点，则直线：。

。

解得或。

因为，则的斜率，的斜率。

因为，所以，故。

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了导数的几何意义，属于中档题。

13．【答案】

【解析】分析：由可得，直线的斜率为，即可求出答案.

详解：由可得，

切线为直线的斜率为：

设直线的倾斜角，则且.

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.

14．【答案】3

【解析】分析：首先求出函数的导数，根据直线平行得到，即可求出参数的值；

详解：解：因为，所以，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15．【答案】

【解析】分析：首先求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率.

详解：因为函数的导数为，

所以可得在处的切线斜率，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，利用已知切点横坐标求斜率，属于容易题.

16．【答案】-1

【解析】分析：由已知条件：函数的图象在点处的切线的方程是，可以得到和的值，从而得出结果.

详解：解：因为点是切点，所以点M在切线上，所以，

因为函数的图象在点处的切线的方程是，斜率为，所以，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查已知在某点处的切线方程求函数值和导数值，熟悉切线方程的几何意义是解题的关键，本题属于基础题题.

17．【答案】2

【解析】分析：对函数求导，利用斜率的值列出方程，解出值．

详解：依题意，，故，解得.

故答案为：2

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查复合函数的求导公式，考查学生计算能力，属于基础题．

18．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.

详解：解：由，得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以所求的切线方程为，即，

故答案为：，

【点睛】

此题考查导数的几何意义，利用导数求曲线的切方程，属于基础题.