北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义巩固练习

【名师】2.2 导数的几何意义优选练习

一．填空题

1．已知函数为上的奇函数，若当，，则函数在处的切线方程为______.

2．曲线在点处的切线方程是_________________．

3．曲线在点处的切线的方程为__________.

4．过点与曲线相切的直线方程为______________.

5．若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.

6．曲线y＝x3－2x＋1在点处的切线方程为_______．

7．已知，若过点的动直线与有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为，，，设线段的中点是，则_________；的取值范围为__________.

8．曲线在点处的切线的方程为__________．

9．曲线在点处的切线的倾斜角大小为______.

10．曲线在点处的切线的斜率为____.

11．曲线在点处的切线方程为，则 _____.

12．函数在点处的切线方程为______________.

13．设直线是是曲线的一条切线，则实数的值是______．

14．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲．乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲．乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

15．已知函数，且对恒成立，则曲线在点处的切线的斜率为___________.

16．函数在区间上的平均变化率为____________.

17．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则     ；函数在处的导数       ．

18．函数(其中)的图象在处的切线方程是_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先根据奇偶性得当时，，再根据导数的几何意义求解即可得答案.

详解：解：因为是奇函数，

所以当时，，

所以，

所以处的切线斜率.

因为时，

所以在处的切线的方程是，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，由奇偶性求函数解析式，考查运算能力，是中档题.

2．【答案】

【解析】先求出与，再利用点斜式即可得到答案.

详解：由已知，，所以，又，故切线方程为

，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.

3．【答案】

【解析】利用导数求得切线的斜率，利用点斜式可得所求切线的方程.

详解：对于函数，其导数为，所求切线的斜率为，

因此，曲线在点处的切线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

4．【答案】.

【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.

详解：设切点坐标为，

由得，

切线方程为，

切线过点，

，即，

，

即所求切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．

5．【答案】

【解析】求出函数在处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.

详解：因为.

所以,

所以 .

因为曲线在点处的切线与直线平行,

即.

故答案为:.

【点睛】

本题考查函数的导函数的几何意义,属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.

6．【答案】

【解析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.

详解：由，得，

在点处的切线的斜率为，

又，

所以所求切线方程为：，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.

7．【答案】1     

【解析】先设直线并联立方程得到B，C坐标满足的关系和斜率与的关系，再利用相切的临界状态，得有三个不同交点时斜率的范围，即得的范围.

详解：设，，直线的方程为，

则由得或，所以.

又为线段的中点，所以.

又，

设函数上的切点为，

由切线过点知，切线方程为，，

又点在切线方程上，

所以，整理得，

解得或，所以切线的斜率为和8，

所以，所以.

【点睛】

本题考查了利用函数切线解决其图像交点的问题，属于中档题.

8．【答案】

【解析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.

详解：

带入得切线的斜率，

切线方程为，整理得

【点睛】

本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.

9．【答案】.

【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据斜率求出倾斜角即可得到答案.

详解：因为，所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

所以曲线在点处的切线的倾斜角为。

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了直线的倾斜角，属于基础题.

10．【答案】7

【解析】利用导数的几何意义计算即可.

详解：，.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，涉及到导数的运算法则，是一道容易题.

11．【答案】

【解析】先对函数求导，然后求出在点处的切线斜率，再根据在点处的切线方程为和切线过切点，得到关于．的方程组，进一步求出的值.

详解：，，

函数在点处的切线斜率为，可得，

，且点在直线上，所以，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的切线方程求参数，解题时要注意以下两点：

（1）切点为切线与函数图象的公共点；

（2）导函数在切点出的导数值等于切线的斜率.

12．【答案】

【解析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程；

详解：根据题意，，则

又由，

则在处的切线方程为：；

点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

13．【答案】；

【解析】设出切点坐标，利用导数的几何意义写出在点处的切线方程，由直线是是曲线的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数的值．

详解：

设切点

则在点处的切线方程为

整理得

直线是是曲线的一条切线

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.

14．【答案】①②③

【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果

详解：表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲．乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查斜率应用．切线斜率应用．函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

15．【答案】17

【解析】依题意可得，求出，再求出函数的导函数，求出其在处的导数值，即可得解；

详解：解：因为，所以当时，取得最小值，即，因为，所以所求切线的斜率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.

16．【答案】1

【解析】根据平均变化率的概念，得到，简单计算，可得结果.

【详解】

故答案为：1

【点睛】

本题考查平均变化率的概念，属基础题.

17．【答案】2 ；-2

【解析】；．

18．【答案】

【解析】求出函数在处的导数值，即切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.

详解：由，得，所以切线的斜率，

所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.