数学第二章 导数及其应用3 导数的计算习题

【基础】3 导数的计算-3优选练习

一．填空题

1．

已知,则__________.

2．

已知，则的值为______

3．

已知函数为的导函数，则的值为__________．

4．

已知函数，且，则________

5．

已知函数，为的导函数，则的值为______．

6．

已知，则______．

7．

求下列函数的导数：

（1）的导数为______；

（2）的导数为______．

8．已知f(x)＝x3＋3xf′(2)，则f′(2)＝_________.

【题文】

已知f(x)＝x3＋3xf′(2)，则f′(2)＝_________.

9．

若函数,则__________．

10．

函数的导数是______________

11．已知（，），其导函数为，设，则_____________.

【题文】

已知（，），其导函数为，设，则_____________.

12．

已知函数满足满足，则f(0)=_________

13．

设函数满足，则___________．

14．

已知函数，则其导函数为__________．

15．

设，则______．

16．

设函数f（x）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x），若f（lnx）=x2﹣1nx，则f′（1）=_____

17．

已知函数__________________.

18．

已知函数f(x)的导函数为，且满足，则______

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】因为,所以,,故答案为.

2．【答案】233

【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0可得a0=243，设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求出其导数，分析可得=﹣10=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x=1可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，将其值相加即可得答案．

详解：根据题意，（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，

令x=0可得：35=a0，即a0=243，

设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

其导数y′=﹣10（3﹣2x）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，

令x=1可得：﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，

则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=243﹣10=233；

故答案为：233

点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a0=243，令x=1可得﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5.其二是要看到要想到求导.

3．【答案】e

【解析】

【分析】

先求函数f（x）的导函数，再将x=1代入导函数求值.

【详解】

，

∴

【点睛】

两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.

4．【答案】2

【解析】

【分析】

根据导数的计算公式求出，然后把代入解方程即可.

【详解】

【点睛】

本题考查函数求导法则的应用，属基础题.

5．【答案】e

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则求出函数的导函数，再计算的值．

【详解】

函数，则，

所以，故答案为．

【点睛】

本题主要考查了导数的运算公式及应用，其中熟记基本初等函数的导数和导数的四则运算的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

6．【答案】

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．

【详解】

∵函数，∴，

∴，故答案为.

【点睛】

本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，准确求出导函数是解题的关键，属于基础题．

7．【答案】       

【解析】

【分析】

（1）利用导数的积法则直接求导即可；

（2）利用导数的商法则直接求导即可.

【详解】

（1）函数的导数y′=2x（lnx+sinx）+x2（+cosx）=；

（2）y′=

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式和导数的运算法则是解决本题的关键．

8．【答案】

【解析】分析：由函数，求得，即可求解的值．

详解：由题意，则，所以．

点睛：本题主要考查了导数的运算，属于基础题，着重考查了运算能力．

9．【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的求导法则运算即可.

【详解】

根据乘法的导数法则及常见函数的导数公式可得.

即答案为.

【点睛】

本题考查函数求导法则的应用，属基础题.

10．【答案】

【解析】分析：根据商的导数的计算公式求出f′（x），然后便可得出f′（1）的值．

详解：；

∴．

故答案为：．

点睛：考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法．

11．【答案】

【解析】

【分析】

先对函数求导，把代入导函数，解方程可以求出f(0)。

【详解】

对函数求导得，

把代入导函数得，

解得，

【点睛】

本题主要考查导数的计算，关键要掌握导数公式，并正确求导，恰当代入，比较基础。

12．【答案】

【解析】分析：求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．

详解：∵f（x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），

∴f′（x）=2x+3f′（1），

令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），

即f′（1）=，

故答案为：

点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.

13．【答案】.

【解析】分析：利用基本函数的求导公式．函数除法的求导法则进行求解.

解析：．

点睛：本题考查基本函数的求导公式．函数除法的求导法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.

14．【答案】2

【解析】

【分析】

求出导函数，代入e值即可.

【详解】

∵

∴

∴2

故答案为：2

【点睛】

本题考查导数的乘积导法则，属于基础题.

15．【答案】

【解析】

【分析】

先利用换元法求出函数f（x）的解析式，再求导，代值计算即可．

【详解】

设lnx=t，则x=et，
∵f（lnx）=x2-1nx，
∴f（t）=e2t-t，
∴f（x）=e2x-x，
∴f′（x）=2e2x-1，
∴f′（1）=2e2-1，
故答案为：2e2-1．

【点睛】

本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．

16．【答案】1

【解析】

【分析】

求导得，令，则，求出可得函数及导函数的解析式，将代入可得答案．

【详解】

函数，令，则，解得，即， ，故答案为.

【点睛】

本题考查的知识点是导数计算，以及方程思想，难度中档．

17．【答案】

【解析】

【分析】

利用导数的运算法则求出f′（x），令x=1可得f′（1）=2f′（1）+2，计算可得答案．

【详解】

f′（x）=2f′（1）+2x，

令x=1得f′（1）=2f′（1）+2，

∴f′（1）=﹣2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替．