数学北师大版 (2019)3 导数的计算同步训练题
展开【优选】3 导数的计算-1优选练习
一.填空题
1.函数的导函数是___________________。
2.已知,则_____.
3.已知函数,是函数的导函数.若,则实数a的值为_______.
4.己知函数,其是的导函数,则=
5.已知函数,则等于____________.
6.函数的导数为__________.
7.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的导函数为__________.
8.已知函数,其导函数为,则的值为_______.
9.已知为偶函数,当时,,则_____.
10.设点是曲线上的任意一点,则到直线的距离的最小值为_________ .
11.函数在处的切线方程为______
12.已知函数.为的导函数,若,则实数的值为__________.
13.已知函数,则的值为______ .
14.已知函数,为的导函数,则__.
15.已知函数f(x),x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为_____.
16.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=2f(x),f ′(x)是f(x)的导函数,则=____.
17.若函数y=sin2x+cos3x+a﹣1在区间[]上的最小值为0,则a=_____.
18.已知函数在点(1,3)处的导数为3,则__________.
参考答案与试题解析
1.【答案】
【解析】利用求导的法则求解即得解.
【详解】
由题得.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查函数求导,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2.【答案】
【解析】先求出,令后可得的值.
【详解】
,令,
则,故.填.
【点睛】
本题考查函数导数的运算,属于容易题,求导时注意为常数.
3.【答案】
【解析】利用列方程,解方程求得的值.
【详解】
依题意,,由得.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查导数的计算,属于基础题.
4.【答案】
【解析】求出,令后可解得,然后代入计算出
【详解】
故答案为
【点睛】
本题考查导数的运算,属于基础题型.
5.【答案】
【解析】先求得的导函数,由此求得的值.
【详解】
函数
,
将代入,得
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查复合函数的导数的求法,属于基础题.
6.【答案】
【解析】先由二倍角公式,将原式化简,再根据导数计算公式求解,即可得出结果.
【详解】
因为,
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查导数的计算,熟记导数计算公式即可,属于基础题型.
7.【答案】
【解析】直接根据指数函数的导数公式即可得结果.
【详解】
由指数函数求导得,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了指数函数的导数公式,属于基础题
8.【答案】3
【解析】根据解析式可得到解析式,可求得;求导后可得到,从而代入的值可求得结果.
【详解】
故答案为:
【点睛】
本题考查根据函数的性质求解函数值的问题,涉及到导数的运算,关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.
9.【答案】2
【解析】根据题意,由函数的奇偶性与解析式分析可得f(x)在上的解析式,求出其导数,将代入计算可得答案.
【详解】
根据题意,设,则,
则,
又由为偶函数,则,
则,
则有;
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了函数的导数计算,涉及函数的奇偶性的性质以及应用,属于中档题.
10.【答案】
【解析】求出平行于直线x+y+2=0且与曲线y=x﹣2lnx相切的切点坐标,再利用点到直线的距离公式可得结论.
【详解】
解:设P(x,y),则y′=1(x>0)
令11,解得x=1,
∴y=1,即平行于直线y=﹣x﹣2且与曲线y=x﹣2lnx相切的切点坐标为(1,1)
由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y+2=0的距离的最小值d2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式的应用,函数的导数的求法及导数的几何意义,体现了转化的数学思想.
11.【答案】
【解析】求导后求出即可得切线的斜率,利用点斜式即可得解.
详解:求导得,所以,
所以函数在处的切线方程为,即.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了导数的运算和导数几何意义的应用,属于基础题.
12.【答案】
【解析】通过对原函数求导,代入1即得答案.
【详解】
根据题意,,所以,故.
【点睛】
本题主要考查导函数的运算法则,难度不大.
13.【答案】1
【解析】根据导函数公式,先求得,代入即可求解.
详解:函数,
根据三角函数诱导公式可知,
所以
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了导数的简单应用,导数值的求法,属于基础题.
14.【答案】;
【解析】求导后代入计算即可.
详解:由题, ,
故.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了求导法则的运算以及导数值的求解.属于基础题.
15.【答案】3
【解析】求出函数的导函数,由可求出 的值.
【详解】
由函数,有,
由有
故答案为:3
【点睛】
本题考查了导数的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
16.【答案】-
【解析】由函数f(x)的解析式,利用求导法则求出导函数f′(x),然后把函数解析式及导函数解析式代入f'(x)=2f(x),整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值,把所求式子分子中的“1”变形为sin2x+cos2x,分母中的sin2x利用二倍角的正弦函数公式化简,分子分母同时除以cos2x,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将tanx的值代入即可求出值.
【详解】
因为f ′(x)=cosx+sinx,f ′(x)=2f(x),所以cosx+sinx=2(sinx-cosx),所以tanx=3,
所以====-.
故答案为-
【点睛】
此题考查了三角函数的化简求值,涉及的知识有:求导法则,同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键.
17.【答案】
【解析】化简函数的解析式,利用换元法,结合函数的导数,求解函数的最值然后推出结果.
【详解】
解:函数,
因为.所以,
令,则,,,
当时,,当时,,
从而,解得.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数的导数的应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.
18.【答案】.
【解析】由题意得出,解出与的值,可得出的值.
【详解】
,,由题意可得,解得,,
因此,,故答案为:.
【点睛】
本题考查导数的计算,解题的关键就是结合题中条件列方程组求参数的值,考查计算能力,属于基础题.
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