数学选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和练习题

【精编】2.2 等差数列的前n项和-2课堂练习

一．填空题

1．等差数列中，，，则__________.

2．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为__________.

3．已知是与的等差中项，则的值为________.

4．数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行第10个的项是___________，在图中位于___________（填第几行的第几个）

5．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．

6．已知数列满足，，若，则____

7．已知数列的前项为，若，且，则的取值范围是__________.

8．2和8的等差中项是________.

9．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的大小为________

10．设等差数列的前n项和为，若，，求此等差数列的首项和公差d.

11．设数列满足，且，则数列中的最小项为__________，最大项为__________（要求写出具体的值）.

12．将等差数列1，4，7，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．

13．已知数列满足，，则______.

14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问： 五人各得几何？”其意思为： 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是______.

15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文．气象进行长期观察．研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧.古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑．大暑．立秋．处暑．白露．秋分．寒露．霜降．立冬．小雪．大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑．立秋．处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为______尺.

16．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是__________．

17．设数列的前项和为，若，且，则_______.

18．在等差数列中，若，则___________．

参考答案与试题解析

1．【答案】11

【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，即可求出.

详解：解：等差数列中，，，

，解得，，

．

故答案为：11.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．

2．【答案】392

【解析】由题意，每三个括号算一组，并确定每组中的数个数，再求出第50个括号里的数的个数以及第一个数，然后利用等差数列求和公式求解.

详解：括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，

所以到第49个括号时，共有个数，且第50个括号里的数有2个，

又数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

所以，

所以第50个括号里的第一个数是，

所以第50个括号里的数是，

所以第50个括号里的数之和为195+197=392，

故答案为：392.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，还考查了观察．归纳运算求解的能力，属于基础题.

3．【答案】

【解析】根据等差中项的定义，即可求解.

详解：由题意，是与的等差中项

则，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查等差中项的定义，属于基础题.

4．【答案】    第行第列 

【解析】由题意可得第行个数为，且最后一个数为第个数，结合已知通项公式，以及等差数列的通项可得所求.

【详解】

由题意可得从上而下各行的个数为，

第行个数为，且最后一个数为第个数，

则第10行有个数，最后一个数为，

可得第10行的第10个数为，

由前行的个数之和为，

由于时，，时，第行有个数，

由，可得在图中位于第行第列，

故答案为： ；第行第列

【点睛】

本题考查了由图找数列中的项，等差数列的通项公式，属于中档题.

5．【答案】

【解析】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．

详解：因为，所以．

即．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．

6．【答案】

【解析】根据题意，将n＝2，3，4分别代入到已知递推公式中可求a2，a2，a4，然后根据a4＝0可得0，解可得a的值，即可得答案．

详解：解：根据题意，数列{an}满足a1＝a，，

则a2＝11，

a3＝11，

a4＝11，

若a4＝0，则0，解可得a，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查由数列的递推公式求解数列的项，注意依次求出数列{an}的前4项．

7．【答案】.

【解析】由化简结合等差数列的定义得出数列为等差数列，将化为，求出函数函数的最小值，解不等式，即可得出的取值范围.

详解：由题知，，两式相减得

，即，

故为等差数列，，

由得，即，

显然单调递增，故只需，

即，解得.

故选：

【点睛】

本题主要考查了与的关系，涉及等差数列的通项公式以及一元二次不等式的解法，属于中档题.

8．【答案】5

【解析】根据等差中项的概念，直接计算可得结果.

详解：2和8的等差中项为

故答案为：5

【点睛】

本题考查等差中项的概念和计算，属基础题.

9．【答案】

【解析】利用等差数列的性质直接求解．

详解：解：等差数列中，，，

，

解得，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

10．【答案】，.

试题分析：由条件列式求首项和公差.

详解：设等差数列的首项为，公差为，

则，解得：，.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题型.

【解析】

11．【答案】    1 

【解析】由已知条件可知数列是等差数列，可求出其通项，从而可求出数列的通项，结合反比例函数的性质分析可得答案.

详解：解：因为数列满足，且，

所以数列是以2为公差，为首项的等差数列，

所以 ，

所以，

令，此函数在上单调递减，且

在上单调递减，且

所以对于，当时，其有最小值，

当时，其有最大值，

所以数列中最小项为，最大项为1，

故答案为：；1

【点睛】

此题考查数列的函数特性，涉及等差数列的通项公式，考查转化思想，属于基础题.

12．【答案】163

【解析】设各行的首项为，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解.

详解：设各行的首项为，

故

叠加法得到：

故：136

又每一行是以3为公差的等差数列

数阵中第10行最后一个数是：

故答案为：163

【点睛】

本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

13．【答案】

【解析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.

详解：由，则，得，

所以是等差数列，，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列．等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

14．【答案】18

【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．

详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，

则.

故答案为：18

【点睛】

本题考查等差数列的首项的求法，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

15．【答案】3.6

【解析】根据题意列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得到答案.

详解：由题意，用分别表示夏至．小暑．大暑．立秋．处暑．白露．秋分．寒露．霜降．立冬．小雪．大雪这十二个节气的日影子长，且它们依次成等差数列，设公差为，

，即

解得

所以夏至的日影子长为3.6尺.

故答案为：3.6.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式及性质.

16．【答案】

【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得.

详解：将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，

因为，

则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，

故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.

17．【答案】

【解析】用，代入已知等式，得，变形可得，说明是等差数列，求其通项公式，可得的值.

详解：，，整理可得，

则，即，

所以，是以为公差的等差数列，又，

，则.

故答案为：.

【点评】

本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.

18．【答案】60；

【解析】由等差数列的性质可得出，从而，进而，由此能求出结果．

详解：在等差数列中，，

，解得，

．

故答案为：60

【点睛】

本题考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．