北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念同步练习题

【名师】2.1 导数的概念课时练习

一．填空题

1．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，过点和的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，当取最大值时，双曲线的方程为________.

2．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在．两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.

3．已知定义在上的奇函数，当时，，则在点处的切线方程为_______.

4．函数在处的切线方程是____________.

5．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.

6．已知直线与曲线相切，则实数k的值为______．

7．曲线在点处的切线方程为______.

8．函数在处的切线方程为__________．

9．若函数的图象在点处的切线过点，则__________．

10．曲线上一动点处的切线斜率的最小值为________.

11．曲线在点处的切线方程为__________.

12．已知抛物线过点，且在点处与直线相切，则__________，____________，_________________.

13．已知函数，则在点处的切线方程为______.

14．已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.

15．已知点P在曲线上，其中e是自然对数的底数，曲线在点P处的切线的倾斜角为，则点P的纵坐标为______________.

16．已知函数，则函数在处的切线方程为______.

17．，设函数图像上点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是____．

18．函数的图象在处的切线方程为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：设点的坐标为，则，利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标，可求得直线的方程，并求得点的坐标，可得出，利用三角换元思想求得的最大值及其对应的．的值，由此可求得双曲线的标准方程.

详解：设点的坐标为，则，对于二次函数，求导得，

由于抛物线在点处的切线与直线垂直，则，

解得，则，所以，点的坐标为，

抛物线的焦点为，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，该直线交轴于点，，

可设，，其中，

，

，，

当时，即当时，取得最大值，

此时，，，

因此，双曲线的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.

2．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围.

详解：，，

由题意可得，即，

，化简可得，即，

而，，则，

当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，

所以，，因此，的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3．【答案】

【解析】分析：根据奇函数的性质求出当时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程；

详解：当时，，，

，，

切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．奇函数的性质，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力，求解时注意先求解析式再求导数.

4．【答案】

【解析】分析：求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，则，，.

因此，函数在处的切线方程是，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：设出切点坐标，求导，得出过该切点的切线方程，再代入原点坐标，解出切点的坐标，可得答案.

详解：设切点坐标为，，，，

则曲线在点处的切线方程为，

由于该直线过原点，则，得，

因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求函数过某点的切线方程，一般解决切线方程的问题，不知切点时需设切点，属于基础题.

6．【答案】

【解析】详解：设切点为,

切线：

即，又

所以，即

7．【答案】

【解析】分析：由题意可得切点，对求导可得，即为切线斜率，由此可求其切线方程.

详解：由，可得切点

，

其切线方程为即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.

8．【答案】

【解析】分析：先求得导函数与切点坐标，即可求得切线方程.

详解：函数，

当时，所以切点坐标为，

而，

由导数的几何意义可知，

所以切线方程为，化简可得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题.

9．【答案】5

【解析】分析：由，求得，再求，由点斜式方程求解参数即可

详解：解：，切点

所以切线方程为：

切线过点，

，

故答案为：5

【点睛】

考查曲线在某一点的切线过已知点求其中参数，基础题.

10．【答案】

【解析】分析：根据曲线，求导得到，再利用基本不等式求得导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值.

详解：因为曲线

所以

，当且仅当，即时，取等号.

所以在点处的切线斜率的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】分析：先求出的导函数，然后求出切线斜率，再写出切线方程即可．

详解：由，得，

在点，处的切线斜率，

又，在，处的切线方程为，

即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．

12．【答案】3    -11    9 

【解析】分析：先求函数的导函数，再由题意知，函数过点，，且在点处的切线的斜率为1，即，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可.

详解：解：由于抛物线过点，

则，，

又，

因为点处与直线相切，

即切线的斜率为1，即，

．

又因为切点为，．

把①②③联立得方程组，

解得：，

即，，．

故答案为：3，-11，9.

【点睛】

本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.

13．【答案】

【解析】分析：根据，求导，再求得，，写出切线方程.

详解：因为

所以，

所以.又，

所以在点处的切线方程为，

即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：求导函数，确定其值域，即可求出的取值范围．

详解：，

，

,

，

的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．【答案】2

【解析】分析：求出函数的导数得到，解得，代入曲线方程求出的值即可．

详解：设，

，

，

，解得：，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．倾斜角和斜率的关系，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力.

16．【答案】

【解析】分析：先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.

详解：由已知得且，，

则切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.

17．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，判断导函数的范围，得到切线的斜率的范围，然后求解切线的倾斜角的范围．

详解：解：因为，

所以，所以切线的斜率的范围为

设点P处的切线的倾斜角为，可得，

解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线的向量的范围以及倾斜角的范围的求法，属于基础题．

18．【答案】

【解析】分析：求出导函数，计算出切线斜率，同时计算出函数值，然后可得切线方程．

详解：由得，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数图象在点处的切线方程是．