选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用一课一练

4数列在日常经济生活中的应用检测B卷(综合提升）

一、单选题

1．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ）

A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元

2．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息（    ）元.

（参考数据：，，，）

A． B． C． D．

3．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ）

A． B．

C． D．

4．科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础研究经费为（    ）

A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右

5．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（    ）

A．4里 B．16里 C．64里 D．128里

7．年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到元的时间为（    ）

A．年月日 B．年月日

C．年月日 D．年月日

8．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（    ）

A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元

二、多选题

9．某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，要求每个实验室的改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用可能是（    ）

A．3033万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元

10．在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pro5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为，设郭靖每个月还款数为，则下列说法正确的是（    ）

A．郭靖选择的还款方式“等额本金还款法”

B．郭靖选择的还款方式“等额本息还款法”

C．郭靖每个月还款的钱数

D．郭靖第3个月还款的本金为

11．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：)

A．

B．

C．2020年小王的年利润为40000元

D．两年后，小王手中现款达41万

12．据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（    ）．

A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是

C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是

三、填空题

13．为了参加运动会的5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天一共跑________m.

14．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约_______万元.（参考数据：）

15．已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_______升．

16．2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回___________元.

（参考数据：，，）

四、解答题

17．2017年，某内河可供船只航行的河段长1 000 km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2018年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，试求：到2022年，该内河船只可行驶的河段长度为多少千米？

18．如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.

（1）求AB、BC、CD的长；

（2）以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

19．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．

（1）以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

（2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)

20．某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利(单位：万元)，求：

（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

21．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）

22．已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨．

（1）设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示；

（2）求（用表示）．

 参考答案

1．D

【分析】

根据单利计算公式直接计算第5年的本利和.

【详解】

因为是按照单利计算，所以第5年的利息是，

第五年末的本利和是.

故选：D

2．B

【分析】

由题意，某同学有压岁钱元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得的利息，即可得答案.

【详解】

将元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，

则存满年后的本息和为，

故而共得利息元.

将元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满年后的利息为，

故可以多获利息.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是计算元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝选择复利计算五年的利息减去元钱存入银行计算年利息即可得利息.

3．D

【分析】

设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可.

【详解】

本题为增长率模型函数，为指数函数形式.

设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则.

故选D.

【点睛】

本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

4．D

【分析】

由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于, 再根据2025年基础研究经费占比要达到8%以上，即可求出2025年我国基础研究经费的最低值，从而选出正确选项.

【详解】

由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于亿元，又因为2025年基础研究经费占比要达到8%以上，

所以2025年我国基础研究经费不得低于 亿元

故选：D

5．C

【分析】

设第n天募捐到元，经分析数列是等差数列，利用前n项和即可解得．

【详解】

设第n天募捐到元，则数列是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和．因为，所以至少需要8天可完成募捐目标．

故选：C

6．A

【分析】

先根据题意转化为等比数列模型，相当于求，直接套公式求即可.

【详解】

由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列，且前6项和为252.

设首项为，则有，解得：=128.

∴

故选：A

【点睛】

（1）数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．

7．C

【分析】

由题意分析每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，求出其前项和列不等式即可解得.

【详解】

由题可知，小王父母从年月开始，每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，其前项和为.令，即.因为，，所以第个月的号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到元，即年月日他这张银行卡账上存钱总额首次达到元.

故选：C

8．A

【分析】

设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，由等差数列前公式求得第年总成本，这样可得总盈利，由二次函数性质可得最大值；

【详解】

设引进设备年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第年的成本为万元，

则由题意，知为等差数列，前年成本之和为万元，

故，，

所以当时，，

即总盈利的最大值为204万元.

故选：A.

9．BC

【分析】

设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1700万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.

【详解】

设每个实验室的装修费用为万元，设备费为（，2，3，…，10）万元，

则，

因为从到依次构成等比数列，

又，，所以，

故.

依题意，解得，又，所以，

所以总费用为，

则.

故选：BC

10．BCD

【分析】

每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为，根据利率求出每个月所还本金（由于有利息，每个月所还本金不相同），所有本金和为5000，由此可求得．

【详解】

每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，

每个月还款数为，则每个月所还本金为，，，…，，

所以，解得，

故选：BCD．

11．BCD

【分析】

由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.

【详解】

对于A选项，元，故A错误

对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；

对于C选项，由得

所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，

所以，即

所以2020年小王的年利润为元，故C正确；

对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.

故选： BCD.

【点睛】

本题考查数列的实际应用，考查知识迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键是根据已知数学生活情境，建立数列递推关系的数学模型，，进而根据数学模型讨论各选项.

12．BCD

【分析】

根据题意，分析数学模型对应为等比数列的知识点，根据每个时间段，确定翻了几番，最后可以得出某一年底的人类知识总量.

【详解】

2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.

2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.

2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.

则2009年底，人类知识总量为，故B正确，

2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番

则2019年底，人类知识总量为，故C正确.

2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，

则2020年底，人类知识总量为，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：“翻一番”可以理解为等比数列的公比为2.

13．68000

【解析】

【分析】

通过分析题目可知每天跑的距离构成一个等差数列，根据等差数列前项和公式可求得最后结果.

【详解】

由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第天跑的距离记为，且公差为，则李强天跑的距离为该等差数列的前项和．由.

【点睛】

本小题主要考查数列在日常生活中的应用，通过分析可知题目应用到的数列是等差数列，要求的是等差数列的前项和.属于基础题.

14．5.3

【分析】

设每年存入万元，由每年本利和相加等于40可得答案.

【详解】

设每年存入万元，

则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，

2022年初存入的钱到2027年底本利和为，

……

2027年初存入的钱到2027年底本利和为，

则，

即，解得.

故答案为：.

15．．

【分析】

根据题意，得到，之间的关系，然后用数列知识求解．

【详解】

根据题意可得，，

，

，即数列是以为首项，为公比的等比数列，

，

，

．

故答案为：

16．

【分析】

根据等比数列的求和公式计算可求得答案.

【详解】

解：由题意可知，可取出钱的总数为：

，

故答案为：6560.

17．

【解析】

【分析】

通过分析可知，河段长度构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式可求得内的长度.

【详解】

设an表示第n年船只可行驶河段长度，Sn表示前n年这条船航行的总路程，则an＝an－1且a1＝1 000，

∴{an}为等比数列，首项a1＝1 000，公比为q＝，

∴an＝1 000×n－1，

所以到2022年该内河船只可行驶的河段长度为a6＝1 000×5(km)．

【点睛】

本小题主要考查数列在日常生活中的应用，考查了等比数列的通项公式.研究一个实际生活的案例，首先要通过阅读题目，分析清楚题目所包含的条件属于哪个知识板块，是等差数列还是等比数列，或者是其它的知识点.然后用对应知识板块的公式来解决.属于基础题.

18．（1），，；（2）

【分析】

（1）首先设公差为，，则，，得到，再解方程组即可.

（2）根据题意得到，再计算面积即可.

【详解】

（1）设公差为，，则，.

由题意得，解得或(舍去)．

所以，，．

（2）正方形的边长组成首项是，公差是的等差数列，

所以，

所求正方形的面积为.

19．（1）（2）12.3吨．

【分析】

（1）利用每年的出口量构造等比数列，求出公比，再利用等比数列的通项公式可得结果；

（2）利用可解得结果.

【详解】

（1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴．

（2）10年的出口总量．

∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，

即a≤，

∴a≤12.3．故2018年最多出口12.3吨．

20．（1）第7年；（2）第12年.

【分析】

（1）分段解不等式，（2）对进行讨论，求的前项和，令，解不等式.

【详解】

（1）当时，，解得，即，不成立，

当时，，即，随着的增大而减小，

当时，不成立，当时，成立，

故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）当时，累计新增盈利总额

，

可得所求超过5，

当时，，

整理得，由于随着的增大而减小

又当时，，故不成立，

当时，，故成立，

故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

21．

（1），

（2），今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨

【分析】

（1）由题意，分析得到数列是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，由此求解即可；

（2）利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可.

（1）

由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，

∴是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；是以为首项，1.5为公差的等差数列，

∴，.

（2）

设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，

∴，

当时，.

∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

22．

（1）

（2）

【分析】

（1）根据题意可得的递推关系，从而可求的通项公式.

（2）根据15年后清空种植并更换种植品种结合（1）的结果可得可求.

（1）

由题设可得，且，

故，

故，

故，

而符合该式，故.

（2）

由（1）可得，

因为15年后清空种植并更换种植品种，故，

所以，故.