北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法随堂练习题

5数学归纳法   -A基础练

一、选择题

1．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵，，∴所取的第一个正整数为2，又，故第一步应验证．故选：B

2．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到

3．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）

A．第一步应该验证当时不等式成立

B．从“到”左边需要增加的代数式是

C．从“到”左边需要增加项

D．以上说法都不对

【答案】D

【详解】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，

所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；

所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：D

4．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，时，为了使用假设，应将变形为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：假设当时，命题成立，即能被3整除，

则当时，

．故选：A.

5．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（）

A．增加一项 B．增加两项、

C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项

【答案】D

【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，

那么时，有：，

∴，

综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项,故选：D

6．（多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）

A． B． C． D．

【答案】CD

【详解】取，则，不成立；

取，则，不成立；

取，则，成立；

取，则，成立；

下证：当时，成立.

当，则，成立；

设当时，有成立，

则当时，有，

令，则，

因为，故，

因为，所以，

所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.

二、填空题

7．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.

【答案】

【详解】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+.

8．用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.

【答案】

【详解】当时，表达式左侧为：，

表达式右侧为：，则当时，表达式为.

9．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

【答案】5

【详解】当时，原式为：，

当时，原式为，

比较后可知多了，共5项.

10．已知，用数学归纳法证明时，_________．

【答案】

【详解】因为当时，，

当时，，所以

三、解答题

11．在数列中，

（1）求出并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳方证明你的猜想.

【详解】

解：(1) ∵，

∴

因此可猜想: ；

(2)当时，，等式成立，

假设时，等式成立，即，

则当时，，

即当时，等式也成立，

综上所述，对任意自然数，.

12．观察下列等式：

．．．．．．

按照以上式子的规律：

（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；

（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．

【详解】

解析（1）第5个等式为．第个等式为，．

（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．

②假设时，命题成立，即，

则当时，

，

即时等式成立．

根据①和②，可知对任意等式都成立．