数学选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和精练

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【精品】3.2 等比数列的前n项和练习一．填空题1．已知各项均为正数的等比数列，，，则___________．2．已知等比数列中，，，则______．3．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列．．．构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则________.4．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_______．5．设无穷等比数列的公比为，首项，则公比的取值范围是________6．设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是       ．7．已知互不相等的四个数成等差数列，且成等比数列．若，则______．8．设，，，，则数列的通项公式=           ．9．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．10．数列为递增的等比数列，且，，则公比_________________.11．已知为等比数列，，，则______.12．在等比数列中，，，则________.13．在等差数列中，，是它的前项和，若，且与的等比中项为4，则__________．14．在等比数列中，，，则________.15．－1与＋1的等比中项是________．16．是一个边长为1的正三角形，是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推是对中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记为的面积，，则________17．在数列中，，且，则数列的前项和为______.(用含的式子表示)18．已知数列满足，设，则数列的通项公式为_______；若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】由于为正数的等比数列，，则，故答案为.考点：等比数列的性质.2．【答案】1【解析】把代入到中可求，则首项可求.详解：解：设等比数列的公比为，由，，得，解得，所以．故答案为：1【点睛】本题考查等比数列特定项的求法，考查等比数列的通项中基本量的运算，是基础题．3．【答案】【解析】本题首先可根据题意得出每一行中所包含的数列中的项，然后根据每一行都是一个公差为的等差数列得出．，再然后根据表中的第一列．．．构成一个公比为的等比数列得出，最后通过计算即可得出结果.详解：由题意可知，第一行是，第二行是从到，第三行是从到，第四行是从到，第五行是从到，第六行是从到，第七行是从到，第八行是从到，第九行是从到，第十行是从到，故在第二行，在第十行，因为，，每一行都是一个公差为的等差数列，所以，，因为表中的第一列．．．构成一个公比为的等比数列，所以，即，解得，故答案为.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，能否根据题意明确每一行中所包含的数列中的项是解决本题的关系，考查推理能力与计算能力，是简单题.4．【答案】【解析】当时,,解得；由,可知当时,,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:5．【答案】【解析】因为，又且，解得．6．【答案】.【解析】当q=1时，.当时，，所以.7．【答案】【解析】因为四个数成等差数列，所以，且，得，设四个数分别为，由成等比数列，得，解得：,所以.故答案为：8．【答案】2n+1【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则． 9．【答案】【解析】由题意首先分析前两次加满水后的酒精浓度，据此归纳出加了10次水后瓶中的酒精浓度即可.详解：第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为，依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为．故加了10次水后瓶中的酒精浓度是 .【点睛】函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础.10．【答案】【解析】利用等比数列的性质可得，求出，，再利用等比数列的通项公式即可求解.详解：因为，，且数列为递增数列，所以，，从而.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的性质．等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.11．【答案】1【解析】利用等比数列的性质可求.详解：因为为等比数列，故.故答案为：1.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）；（3）公比时，则有，其中为常数且；（4） 为等比数列（ ）且公比为.12．【答案】12【解析】设等比数列公比为,再利用等比数列各项间的关系求解满足的关系再计算即可.详解：设等比数列公比为,则.故.故答案为：12【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要所给的各项下标的关系求解满足的关系,属于基础题.13．【答案】35【解析】由条件转化为关于和的方程组，再代入求.详解：由条件可知，且，即，解得：，或（舍）所以.故答案为：35【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，重点考查基本公式和计算，属于基础题型.14．【答案】【解析】根据等比数列中，，得到公比，再写出和，从而得到.详解：因为为等比数列，，，所以，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题.15．【答案】【解析】根据等比数列的等比中项即可求解.详解：＋1与－1的等比中项是±.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.16．【答案】【解析】由图结合归纳推理可得数列是以为首项，为公比的等比数列，然后结合等比数列前项和公式求解即可.详解：解：由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍，即第个图形中剩下的三角形个数为，又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的倍，所以第个图形中剩下的每一个三角形的边长为，其面积为，即，即数列是以为首项，为公比的等比数列，则，故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，重点考查了归纳推理，属中档题.17．【答案】【解析】对递推公式进行变形，可以证明数列是等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，最后根据数列的通项公式特点，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.详解：因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，则，故.故答案为：【点睛】本题考查已知数列的递推公式求通项公式，考查了等比数列的定义．通项公式和前项和公式，考查化归与转化的数学思想与数学运算能力.18．【答案】      【解析】先由数列的递推关系式求出数列和的通项公式，再求出的通项公式，最后将存在性问题转化为数列的最值问题，从而得到关于的一元二次不等式，求解不等式即得实数的取值范围.详解：解：∵，∴.∵，∴，又，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴.∴，∴，∴.∵存在，使得成立，∴.令得则，∴或.，∴，即，解得，∴实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，数列的递推关系，存在性问题，数列中的最值问题等，考查逻辑推理能力及运算求解能力. 求解本题的关键点有两个：（1）通过对递推关系式的观察．化简，推出数列是等差数列；（2）能够正确将存在性问题进行转化.