数学选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和课后作业题

【名师】3.2 等比数列的前n项和-1练习

一．填空题

1．已知等比数列，则______.

2．在正项等比数列中，已知，则的值为______.

3．已知正项等比数列中，，，则的值为________.

4．已知{an}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝_____．

5．等差数列，，且是与的等比中项，则______；______.

6．设数列中前项的和，则______.

7．已知数列是公比为的正项等比数列，，对于任意的，都存在，使得，则q的值为________.

8．在数列中，，，且数列为等比数列，则__________．

9．已知数列的首项，，那么___________.

10．1和4的等差中项是____________；4和_____________的等比中项是.

11．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是______.

12．若，是函数的两个不同的零点，且，，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则__________，__________

13．在等比数列中，，，则________．

14．已知数列满足，则数列是_________数列（填“递增”或“递减”），其通项公式________.

15．等比数列中：则__________

16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为______．

17．在等比数列中，，，则__________．

18．已知等比数列中，，，则公比________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】根据等比数列的性质，求得的值.

详解：由于数列是等比数列，故.

故答案为

【点睛】

本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

2．【答案】

【解析】利用等比数列的性质即可得出．

详解：解：正项等比数列{an}中，由，

，

则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．【答案】6

【解析】根据等比数列的性质可推出为等比数列，求其前4项之积即可，

详解：正项等比数列中，，

故是等比数列，首项为，第二项为，

所以，，

因此数列的前12项之积为，.

故答案为：6

【点睛】

本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题.

4．【答案】3

【解析】利用等比数列的通项公式列出方程，能求出此数列的公比.

详解：∵{an}为递增的等比数列，a2=3，a3+a4=36，

∴3q+3q2=36，且q>0，

解得此数列的公比q=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了等比数列公比的求解，考查运算求解能力，属于基础题．

5．【答案】     

【解析】由等差数列的通项公式及等比中项列出方程组即可求出首项和公差，利用裂项相消法求和即可.

详解：由且是与的等比中项，

可得，

解得，

所以，

所以，

故

，

故答案为：；

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和，属于中档题.

6．【答案】

【解析】由求得，在已知等式中用替换另一等式，两式相减后得的递推式，可构造出一新的等比数列，利用等比数列通项公式可求得，检验是否也适合此式即可得．

详解：由①，

取得：，即.

当时，②，

①－②得：，即.

.

∵，

∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴.

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查由和的关系式求数列的通项公式，解题根据是，但要注意此式中，不包含．否则易出错．

7．【答案】2或

【解析】由题意可得，由于，，所以为整数，由可得的值为0或1，然后分情况求解即可

详解：由题意有，可得，有，有，

若对于任意的，都存在，使得，必有为整数，

又由，有，可得，有，可得的值为0或1，

①当时，；

②当时，有，解得.

故答案为：2或

【点睛】

此题考查等比数列的通项公式的基本量计算，考查对数的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题

8．【答案】

【解析】由等比数列通项公式求出，然后由累乘法求得．

详解：∵为等比数列，由已知，，，

∴，∴时，

，也适合此式，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．如果已知，则用累加法求通项公式，如果已知，则用连乘法求通项公式．

9．【答案】

【解析】由递推式变形为，同时计算，构造一个新的的等比数列，利用等比数列通项公式求得．

详解：∵，∴，又，所以，即是等比数列，公比为2，

∴，∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查由递推式求数列的通项公式，解题关键是构造出一个等比数列．

10．【答案】     

【解析】根据等差中项和等比中项的定义直接计算即可.

详解：1和4的等差中项是；

设和4的等比中项是，所以有，解之得：.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查等差中项和等比中项，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

11．【答案】

【解析】由已知可得，再结合等比数列的性质可得的值

详解：解：因为，是方程的两根，

所以，所以可知，均为负，

所以，

由等比数列的性质得，所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查等比数列性质的应用，属于基础题

12．【答案】    9 

【解析】由，，-3适当排列后成等比数列，所以，则是方程的两个实数根，由根与系数的关系确定，，再根据等差数列和等比数列的性质求出，，以及.

详解：由题意，，为方程的两根，，，由，得，，不妨设，，，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，则必是中间项，所以，又，，-3这三个数适当排列后成等比数列，则-3必是中间项所以，解得，，从，

故答案为：；

【点睛】

本题考查等差，等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，重点考查转化与化归的思想，推理能力，属于基础题型.

13．【答案】6

【解析】根据是等比数列，且，，利用等比中项求解.

详解：因为在等比数列中，，，

所以，

所以．

因为，

所以．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.

14．【答案】递增     

【解析】根据题意，将变形可得，据此分析可得列是以为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，变形可得，据此分析可得答案．

【详解】

根据题意，数列满足，即，

又由，则，

则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，

则，

则数列是递增数列；

故答案为：递增，.

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．

15．【答案】-1

【解析】根据等比数列下标和性质，结合正弦函数求值，即可求得.

【详解】

因为数列是等比数列，故

故.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查等比数列下标和性质，以及特殊角的正弦值.

16．【答案】.

【解析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．

详解：解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，

由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1＝0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1＝0的两个根，

由韦达定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，则

故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2）

（1+q3）（q+q2），

设t，则t2﹣2，

因为q∈[，2]，且t在[，1]上递减，在（1，2]上递增，

所以t∈[2，]，

则ab＝t2+t﹣2，

所以当t＝2时，ab取到最小值是4，

当t时，ab取到最大值是，

所以ab的取值范围是：．

【点睛】

本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．

17．【答案】8

【解析】可先计算出公比，从而利用求得结果.

【详解】

因为，所以，所以，则.

【点睛】

本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.

18．【答案】

【解析】根据等比数列通项公式求解即可.

详解：， 

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于容易题.