高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性课后练习题

【特供】6.1 函数的单调性-2作业练习

一．填空题

1．

已知函数，对任意的，使得，则___________.

2．

某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部是半径为的半球形．按照设计要求该零件的体积为立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该零件的建造费用最小时，半径的值为______．

3．

若函数在内恒有，则实数的取值范围为__________.

4．

已知实数满足，则的值为___________.

5．

在下列命题中，正确命题的序号为______（写出所有正确命题的序号）．

①函数的最小值为；

②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；

③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；

④已知函数，若，则．

6．

拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.其定理表述如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式成立，其中称为函数在闭区间上的中值点，函数在闭区间上的中值点为________

7．

若，是实数，是自然对数的底数，，则______.

8．

已知函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．

9．

已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．

10．

已知函数存在两个极值点，则实数a的取值范围是___________.

11．

已知函数有三个不同的零点且，若则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即)

12．

已知函数，若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，则实数的最小值为______________．

13．

已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为________．

14．当时，有，

∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；

当，则．上，即单调递增，上，即单调递减，

∴①得，或②得，

∴，代入①得，故.

故答案为：

【题文】

当时，有，

∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；

当，则．上，即单调递增，上，即单调递减，

∴①得，或②得，

∴，代入①得，故.

故答案为：

【题文】

若对任意的，且，，则的最小值是_____.

15．

已知函数，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为______.

16．

已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.

17．

设是函数的一个极值点，则______.

18．

已知函数在上是增函数，则的取值范围为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】-3

【解析】

由题意，令，易知是奇函数，，

2．【答案】

【解析】

设该零件的建造费用为，所以，

又因为，所以且，

所以且，

所以，

所以，令，，

当，，当，，

所以当时，有最小值，

故答案为：.

3．【答案】

【解析】

在上恒成立.

设，，即

当时，当时，，不满足题意.

当时，当时，，

此时不满足恒成立，故也不满足题意.

当，对于，

若，即时，当时，恒成立.

所以在上恒成立，即在上恒成立

设，则

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，所以此时

当，即时，

由，当时， ，所以此时

则在上单调递增，则

而的对称轴方程为，且，开口向上.

所以有两个不等正实数根，

当时，，此时，不满足条件.

综上所述，实数的取值范围为

故答案为：

4．【答案】2

【解析】

因为实数满足，所以，

令，则.

令,

所以在单调递增，而，

,

.

故答案为：2.

5．【答案】②③④

【解析】

①当时，无最小值，故①错误；

②因为，所以的图象关于直线对称，

又周期为4，所以，

故函数一定为偶函数，故②正确；

③因为是定义在上奇函数又是以2为周期的周期函数，

所以，，，故.

又，，

所以，故③正确；

④因为为奇函数，又，所以函数在上单调递增，

若，则，有，所以，故④正确.

故选：②③④.

6．【答案】

【解析】

解：根据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，

函数，其导数，所以，

则有，即，

又由，则；

故答案为：．

7．【答案】

【解析】

令，则，时有，时有，从而得在上递增，在上递减，

即，即，当且仅当时取“=”，

于是有，当且仅当时取“=”，

显然，即，从而得当且仅当时取“=”，

于是得，当且仅当时取“=”，

即，从而得，当且仅当时取“=”，

解得，此时.

故答案为：-2

8．【答案】

【解析】

函数的定义域为，且，

令，则，且．

（1）当时，，函数在上单调递增，

所以当时，，当时，，

所以在处取得最小值，满足题意．

（2）当时，即，当时，，函数在上单调递增，

所以当时，，当时，，

所以在处取得最小值，满足题意．

（3）当时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，所以当时，，单调递减，不符合题意．

（4）当时，即，且当时，，单调递减，，

当时，，单调递减，，

所以在处取得极大值，不符合题意．

综上可知，实数的取值范围是．

9．【答案】

【解析】

由题意，令，可得，

因为，所以，为单调递增函数，

又由，且，即，

所以，即不等式的解集为.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】

解：因为

所以，

因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点，

由得，即，

令，则，

易知函数是减函数，且当时，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，

又当时，，当时，，

所以要使有两个零点，

则，

故答案为：．

11．【答案】

【解析】

因为有三个不同的零点且，且，

由，可得，即，

即，其中

令，可得，

当或时，，单调递减；

当时，，单调递增，

其中时，；当且，；

当且，；，所以函数的图象大致如图所示，

令，则或，可得，

令，可得，

当时，；当时，；

当时，；当时，，

则的图象大致如图所示，

因为有三个零点，结合和的图象可知：

若时，至多有2个零点；

若时，的解必有一个为，否则必存在四个零点，

所以，

又因为，所以，

所以.

故答案为：.

12．【答案】3

【解析】

由题得，

∴，故在上单调递增，

不妨设，

则且，原不等式即为．

令，依题意，应满足在上单调递减，

即在上恒成立．

即在上恒成立，令，则

（i）若，，此时在上单调递增，故此时

（ii）若，时，，单调递增；

时，，单调递减；

故此时∴，

故对于任意，满足题设条件的最小值为3．

故答案为：3

13．【答案】

【解析】

由题知，，，，

①当时，在上恒大于零，

则在上单调递增，不符合题意；

②当时，

由得，；由得，；

所以函数在上递增，在上递减，

所以当时，取得极大值，

若函数在区间不单调，必有，解得．

综上可知，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】

当时，，此时，所以不是方程的根

当时，方程可化为：

设，

方程有三个不同的实数根，即与函数的图像有3个交点.

当时，，此时单调递减，且，

当时，，则

当时，，当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

且时，，，当时，，时,.

作出的图象如图.由图可得:

当时，与函数的图像没有交点

当时，与函数的图像有1个交点

当时，与函数的图像有2个交点

当时，与函数的图像有3个交点

当时，与函数的图像有2个交点

所以方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为

故答案为：

15．【答案】1

【解析】

令，则，，

当，恒成立，

则有，，

由得，

因为任意的，都有，所以，，

结合，得.

当时，，

令，，则，

由得，；由得，；

所以在上递减，在上递增，的最小值为，

由，得，对恒成立.

所以，

取，有恒成立.

综上可知，的最大值为1.

故答案为：1.

16．【答案】

【解析】

因为函数，所以，

因为是函数的一个极值点，

所以，，

所以

.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】

因为函数在上是增函数，

所以对于恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

因为在上单调递增，所以，

所以，所以的取值范围为，

故答案为：