高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性精练

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【基础】6.1 函数的单调性-2作业练习一．填空题1．已知函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．2．已知函数（）．若当时，恒成立，则实数的取值范围是______．3．已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．4．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为________．5．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，．．为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为_______.
 6．设函数，若在上有且只有一个正整数，使得，则a的取值范围是_______________.7．已知函数，①曲线上存在垂直于y轴的切线；②函数有四个零点；③函数有三个极值点；④方程有四个根.上述结论中正确的是_______________.8．巳知函数，若关于的方程有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________.9．若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是___________.10．设函数，，若方程有解，则实数的最大值是________．11．已知函数有三个不同的零点且，若则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即)12．设是函数的一个极值点，则______.13．已知函数，若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，则实数的最小值为______________．14．已知函数存在两个极值点，则实数a的取值范围是___________.    
15．已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是_____.16．已知函数，若，且，则的最小值是________．17．某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部是半径为的半球形．按照设计要求该零件的体积为立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该零件的建造费用最小时，半径的值为______．18．已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】函数的定义域为，且，令，则，且．（1）当时，，函数在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在处取得最小值，满足题意．（2）当时，即，当时，，函数在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在处取得最小值，满足题意．（3）当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以当时，，单调递减，不符合题意．（4）当时，即，且当时，，单调递减，，当时，，单调递减，，所以在处取得极大值，不符合题意．综上可知，实数的取值范围是．2．【答案】【解析】即．
令，
则．
由得，或舍去，
且时，；当时，，
当时取最大值，
．  故答案为：.3．【答案】【解析】由题意，令，可得，因为，所以，为单调递增函数，又由，且，即，所以，即不等式的解集为.故答案为：. 4．【答案】【解析】由题知，，，，①当时，在上恒大于零，则在上单调递增，不符合题意；②当时，由得，；由得，；所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，若函数在区间不单调，必有，解得．综上可知，实数的取值范围是.故答案为：.5．【答案】【解析】由题，连接，交与点，由题意，，即的长度与的长度或成正比，设，，则，，，三棱锥的高，则，令，，，令，即，，令，即，，则即∴体积最大值为.故答案为：．
 6．【答案】【解析】由，，得，令，.由，在上，单调递减；在上，单调递增，由经过定点，斜率为.∴在上有且只有一个正整数使，即．的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)，如下图，．，的斜率，的斜率，∴时，符合题意，即.故答案为：.7．【答案】①③④【解析】解：由，得，由，得，或，或，当或时，，当或时，，所以在上递增，在上递减，而，所以由零点存在性定理可知，只有两个零点，分别为和0，函数图像如图所示所以①③正确，②错误，方程可转化为或，，由图像可知有两个根，也有两个根，所以方程有四个根，所以④正确，故答案为：①③④8．【答案】【解析】函数定义域为，是偶函数，其图象如图，直线，(图中虚线)及y轴是该图象的渐近线， 函数的图象是过定点的折线，观察图象知，当射线与在y轴左侧的图象有公共点时，该射线与在y轴右侧的图象有1个或2个公共点，当射线与在y轴左侧的图象相切时，设切点，，依题意有，且，整理得，解得，，显然，当时，射线与曲线有无公共点，则曲线与折线最多有2个公共点，不符合，①当时，射线与曲线有1个公共点，而，该射线与直线相交，它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有3个公共点，②当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线相交，它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有4个公共点，③当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线平行，它与曲线有1个公共点，射线与直线平行，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有3个公共点，④当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线不相交，它与曲线有1个公共点，射线与直线相交，则它与曲线有1个公共点，即当时，曲线与折线有4个公共点，综上，当或时，曲线与折线有4个公共点，即方程有4个互异的实数根，所以实数的取值范围是.故答案为：9．【答案】【解析】二次函数的对称轴为：，要想函数在区间上恰有一个极值点，只需，故答案为：10．【答案】【解析】令，，则，．设，，则．当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，的值域为．故实数的最大值为．故答案为：11．【答案】【解析】因为有三个不同的零点且，且，由，可得，即，即，其中 令，可得，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，其中时，；当且，；当且，；，所以函数的图象大致如图所示，令，则或，可得，令，可得，当时，；当时，；当时，；当时，，则的图象大致如图所示，因为有三个零点，结合和的图象可知：若时，至多有2个零点；若时，的解必有一个为，否则必存在四个零点，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.12．【答案】【解析】因为函数，所以，因为是函数的一个极值点，所以，，所以.故答案为：.13．【答案】3【解析】由题得，∴，故在上单调递增，不妨设，则且，原不等式即为．令，依题意，应满足在上单调递减，即在上恒成立．即在上恒成立，令，则（i）若，，此时在上单调递增，故此时（ii）若，时，，单调递增；时，，单调递减；故此时∴，故对于任意，满足题设条件的最小值为3．故答案为：314．【答案】【解析】解：因为所以，因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点，由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，则，故答案为：． 15．【答案】【解析】解：由，得．令，则，因为的极小值大于0，所以，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值为，所以，综上，的取值范围为．故答案为：．16．【答案】【解析】解：由函数解析式可知函数在每一段都为单调递增函数，且当时，，当时，，所以函数在上为单调递增函数，又，且，所以，中有一个小于1，一个大于等于1，不妨设，，则，即，所以，，令，，所以，当时，，函数为单调递减函数，当时，，函数为单调递增函数，所以当时，函数，无最大值，故的最小值为，故答案为：．17．【答案】【解析】设该零件的建造费用为，所以，又因为，所以且，所以且，所以，所以，令，，当，，当，，所以当时，有最小值，故答案为：.18．【答案】【解析】解：由，得，因为的单调递减区间是，所以的解集为，所以是方程的一个根，所以，解得，故答案为：