选择性必修 第二册6.2 函数的极值同步达标检测题

【精挑】6.2 函数的极值-1作业练习

一．填空题

1．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．

2．已知函数， 则: (1)曲线的斜率为的切线方程为__________;

(2)设，记在区间上的最大值为.当最小时，的值为__________．

3．已知函数，且不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.

4．若不等式在内有解，则实数的取值范围是______．

5．已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.

6．若轴是曲线的一条切线，则______.

7．函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为_____________．

8．已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为_____．

9．己知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是________.

10．定义：若函数图像上的点到定点的最短距离小于3，则称函数是点的近点函数，已知函数在上是增函数，且是点的近点函数，则实数的取值范围是________.

11．已知实数为函数的极小值点,则_____.

12．若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.

13．已知函数，若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的取值范围为________．

14．已知函数（为常数）在处取得极值，则值为______.

15．已知对于任意的恒成立，则的取值范围是__________

16．已知函数，其中为自然对数的底数，若对任意正实数x，都有，则实数的最小值为_____．

17．若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为________.

18．若函数的单调递减区间为，则_________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出函数的定义域和导数，令，得出，将问题转化为直线与函数在上有两个交点，然后利用导数分析函数的单调性和极值，作出图象，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.

【详解】

由题意可知，函数的定义域为，且，

令，得，即，构造函数，

则直线与函数在上有两个交点.

，令，得，列表如下：

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：

当时，直线与函数在上有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的极值点，可将极值点问题转化为导数的零点问题，并借助参变量分离法与数形结合思想求解，属于中等题.

2．【答案】与    -3 

【解析】（1）先求导，根据导数几何意义求出切线的斜率，再结合点斜式求出方程即可

（2）令，结合导数求得，再令，则，，结合绝对值函数的对称性，进一步讨论参数与-3的关系即可求解

【详解】

(1) 由得，

令，即，得或

又

所以曲线的斜率为的切线方程是与

即与

(2)令.

由得，

令得或

的情况如表:

所以的最小值为，最大值为，可令，则，，此时根据绝对值函数的对称性进行分类讨论，

当时，即时，如图：

函数的对称轴为，此时；

当时，即时，如图：

，当时，；

当时，即时，如图：

，当时，；

综上所述，当最小时，的值为-3

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，绝对值函数的对称轴与最值的关系，数形结合思想，学会转化函数，构造函数是解题的关键，属于难题

3．【答案】

【解析】观察可得, ,即证恒成立,由于,可转换为证明在上单调递减,进而求得的取值范围.

【详解】

∵，∴，

又∵在上恒成立,即恒成立,

设,则

,,即

只需证在上单调递减,

在上恒成立,

即在上恒成立,

在上恒成立,

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数判断单调性,考查恒成立求参问题,考查数学转换的思想.

4．【答案】.

【解析】将问题转换为与在内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出在不同区间内的单调性，从而可得的图象；由于直线恒过点，通过图象可知当直线过时为临界状态，求出临界状态时的取值，从而得到取值范围.

【详解】

当时，，此时不等式为：

当时，，此时不等式为：

令，，则，

当时，；时，

即在上单调递增；在上单调递减

令，，则，

当时，

在上单调递增

由此可得：的图象如下图所示：

可知：

则不等式在内有解等价于与在内有交点

直线恒过点

当直线过点时为临界状态，此时

当时，不等式在内有解

本题正确结果：

【点睛】

本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.

5．【答案】

【解析】因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．

【详解】

因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.

令，，则，

再令，，则，

故在上为减函数，于是，

从而，于是在上为增函数，所以，

故要使恒成立，只要，

综上，若函数在上无零点，则的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．

6．【答案】.

【解析】先求得，令，…，解得，再把轴是曲线的一条切线，所以是函数的一个极值点，得到，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数，可得，

令，即，解得，

因为轴是曲线的一条切线，所以是函数的一个极值点，

则，即，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数的极值点的概念及其应用，其中解答中把轴是曲线的一条切线，转化为是函数的一个极值点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

7．【答案】

【解析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间．极值和最值，即可得到a的范围．

【详解】

解：两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，

y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′，

设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），

y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，

y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y

∴

∴，

∴

即有解即可，

令g（x）＝x2（1﹣lnx），

y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，

∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，

g（x）的最大值为：g（），

又g（0）＝0，

∴，∴a≤2e．

故答案为：（﹣∞，2e]．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值．最值，考查运算能力，属于中档题．

8．【答案】

【解析】由，要满足，使，可得函数为减函数或函数存在极值点，对求导，可得不恒成立，即不是减函数，可得存在极值点，有解，可得a的取值范围.

【详解】

解：∵；

∴要满足，使，则：

函数为减函数或函数存在极值点；

∵；

时，不恒成立，即不是减函数；

∴只能存在极值点，∴有解，即有解；

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了导数的综合应用,利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值等，属于中档题.

9．【答案】

【解析】由题意可得对任意恒成立， 转化为则对任意恒成立，再证明即得解.

【详解】

函数，若不等式对任意恒成立，

即为对任意恒成立，

即有对任意恒成立，

设，，时，，函数递减，可得，

则对任意恒成立，

下面证明

因为，所以只需证明

只需证明

当m=2时，只需证明，

因为，

所以函数f(x)在单调递增，在单调递减.

因为x>0，所以x+1>1,,

所以只需证明

因为恒成立，

所以.

则，即的范围是，．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生对这些问题的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．

10．【答案】

【解析】由函数在上是增函数，可知；由函数是点的近点函数，可得，从而得到结果.

【详解】

由题意可得：又函数在上是增函数，

∴

求出函数的导函数，

设函数图像上离A最近的点

则，

令，即，

解得： （舍）或

∴=，即

∵函数是点的近点函数，

∴

，即，

∴

∴

综上可得：

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的单调性与最值，考查了转化能力与运算能力，属于难题.

11．【答案】

【解析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点.

【详解】

解：

令解得或，即函数在和上单调递增；

令解得，即函数在上单调递减；

故函数在处取得极小值.

即

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.

12．【答案】

【解析】对函数进行求导,判断函数的单调性,结合极值的定义和所给定的区间,得到不等式,解不等式即可求出实数a的取值范围.

【详解】

.

当时, ,所以函数单调递减；

当时, ,所以函数单调递增,要想函数在区间上有极值,只需,所以实数a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数有区间有极值求参数问题，考查了函数极值的判断方法.

13．【答案】

【解析】设，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

又关于x的不等式有且只有一个正整数解，则的图像在图像的上方只有一个正整数值，分别作出与的图像观察可得，求解即可.

【详解】

解：由不等式，所以，

设，所以

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

所以，

当时，，当时，，

若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则的图像在图像的上方只有一个正整数值，分别作出与的图像可知：

，

即.

【点睛】

本题考查了不等式与函数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

14．【答案】1.

【解析】先对函数求导，根据函数在处取得极值应有，即可求解.

【详解】

因为，

所以根据函数在处取得极值应有，

即，

解得，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.

15．【答案】[﹣3，1]．

【解析】根据题意可转化为a2+2a+2的最小值问题，然后利用导数求出函数的单调性与最小值即可得答案．

【详解】

根据题意化简得：a2+2a+2对任意x∈（1，+∞）恒成立，

令f（x），

∴f′（x）

令f′（x）＝0？x＝3或﹣1（舍负）

令f′（x）＞0？x＞3；令f′（x）＜0？1＜x＜3；

∴x＝3时函数f（x）取得最小值且f（3）＝5；

∴a2+2a+2≤5，化简得：a2+2a﹣3≤0，即（a﹣1）（a+3）≤0，

解得﹣3≤a≤1.

故答案为：[﹣3，1]．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，以及极值与最值问题，属于中档题．

16．【答案】.

【解析】根据题意得恒成立令，，，对求导通过单调性分析最小值，得，所以，，求出的取值范围，进而求出取值范围．

【详解】

解：若对任意正实数都有，

则，则恒成立，

令，，，

，

当时，，在上单调递减，无最小值，不符合题意，

当时，令，在上是增函数，

所以存在，使得，

，

当时，，，单调递减，

当，时，，，单调递增，

所以，

所以，

即，

即，

令，

，

所以在上单调递减，

又，所以，

由基本初等函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性得在上单调递减，

所以

即．

故的最小值为

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性．最值，属于中档题．

17．【答案】

【解析】分别求出函数与的导函数，设公共点为，则解得，又，则，令，求出函数的导数，研究函数的最值.

【详解】

解：设曲线与的公共点为，

因为，

所以，化简得，

解得或，

又，且，则.

因为.

所以.

设，所以，

令，得，

所以当时，；当时，.

即在上单调递增，在上单调递减，

所以b的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.

18．【答案】

【解析】先对函数求导，得到，根据题意，得到不等式的解集为，从而方程的两个根分别为和；根据根与系数关系，即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

又函数的单调递减区间为，

所以不等式的解集为，

即方程的两个根分别为和；

因此，解得：，因此.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由函数的单调区间求参数，以及由不等式的解集求参数的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，以及三个二次之间关系即可，属于常考题型.