北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.2 函数的极值综合训练题

【优编】6.2 函数的极值作业练习

一．填空题

1．已知函数有两个零点，则整数a的最小值为______．

2．已知函数，对于任意的，存在，使，则实数的取值范围为_________；若不等式有且仅有一个整数解，则实数的取值范围为_________.

3．函数，的单调减区间为          .

4．若函数在上单调递增,那么实数的取值范围是_________.

5．已知三棱锥满足，则该三棱锥体积的最大值为________.

6．已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_____.

7．已知在处有极小值为, 求 __________.

8．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：

①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；

②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；

③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；

④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．

则正确命题的序号是　   　．

9．定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，，则不等式的解集为______.

10．已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为______.

11．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______

①        ②        ③

12．函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______

13．若存在两个正实数x，y使等式mx（lny﹣lnx）﹣y＝0成立，则实数m的取值范围是_____

14．已知，函数，（为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是________.

15．已知函数在时有极值，则_______.

16．已知实数，若关于x的方程有三个不同的实根，则t的取值范围为____________．

17．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____．

18．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】求出导函数，对a分类讨论，明确函数的单调性，研究函数的最值与零的关系即可.

【详解】

，，

当时，，单调递增，不可能有两个零点；

当时，有唯一解，此时，

则，

解得，

∴整数a的最小值为3.

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的零点个数的判断，考查转化思想以及计算能力．

2．【答案】     

【解析】(1)由题意可得，利用导数求出最大值，即可得到答案；

(2)分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性得到函数图象的大致走向，进而可得答案.

【详解】

(1)由题意得，.

由可得

所以.

由，可得，则在上单调递增，

所以.

所以，解得.

(2)由，可得，

，所以.

设，则,

显然，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

又 ，

，则.

又，，则.

综上所述，当时，有且仅有一个整数解，

即当时，有且仅有一个整数解.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合问题，考查利用导数研究函数的单调性．最值等性质，进而解决恒成立和存在性问题.遇到恒成立．存在性问题，一般要考虑转化为函数最值的关系问题来解决.

3．【答案】

【解析】因为，所以，因为，由，解得，所以函数的单调区间是.

考点：利用导数研究函数的单调性.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，其中解得中涉及到导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．以及推理与运算能力，本题的解答中正确求解函数的导数，准确求解不等式是解答的关键，属于基础题.

4．【答案】

【解析】先求函数的导函数，由题意有在恒成立，运算即可得解.

【详解】

解：因为，所以，由函数在为增函数，则在恒成立，即在恒成立，

又，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了已知函数的单调区间，利用导数求参数的范围，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.

5．【答案】

【解析】取中点，连接，，先由题意得到平面平面时，棱锥的高最大，等于，此时体积也最大；得到，设，得到，令，设，用导数的方法求出其最大值，进而可求出结果.

【详解】

取中点，连接，，因为，

所以，，且，

由题意可得，当平面平面时，棱锥的高最大，等于，此时体积也最大；

所以此时该三棱锥体积为

，

设，则，

所以，

令，因为，所以，

设，，

则，由得；

由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

所以，

因此三棱锥体积的最大值为.

故答案为

【点睛】

本题主要考查导数的方法求几何体体积的最值问题，熟记导数的方法，以及空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.

6．【答案】

【解析】先由“有且只有一个零点”求出实数的值，再求最值即可.

【详解】

由，可得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又时,,时,,

要使在内有且只有一个零点，则.

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当且仅当时，取得最大值为.

所以有唯一解.

所以在上单调递增.

所以在上的最大值与最小值的和为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点．最值.一般先通过导数讨论函数的单调性和极值，判断函数图象的大致走向，从而对函数零点．最值和方程的根的情况等作出判断.

7．【答案】15

【解析】∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2

∴f'（x）=3x2+2ax+b，

又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，

当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑

∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；

当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．

∴a=4，b=﹣11；且f（1）=10是极小值．

此时

故答案为：15.

点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点．

8．【答案】①④

【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．

【详解】

根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0

∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确

则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确

∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；

∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确

故答案为：①④

【点睛】

本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性．极值．和切线的斜率等有关知识，属于中档题．

9．【答案】

【解析】令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．

【详解】

当时，由，得，得，所以在上递增，

∵为偶函数，∴在上递减，且，

或，

可得或，

所以，的解集为.

【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．

10．【答案】4

【解析】由导数的几何意义可得：，解得，

由导数的应用可得：，，得解.

【详解】

解：因为，

所以，

由函数在处的切线平行于轴，

所以，解得，

即，

当时，，时，，

即函数在为增函数，在为减函数，

 所以，，

故的极大值与极小值的差为，

故答案为4.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的极值，属中档题.

11．【答案】①③

【解析】根据”倍值区间”的定义,分别对三个函数研究,从而可确定存在”倍值区间”的函数.

【详解】

对于①,假设函数存在”倍值区间”,因为函数为单调递增函数,

所以,所以,解得,

所以存在”倍值区间”;

对于②,假设函数存在”倍值区间”,因为为递增函数,

所以,所以,

构造函数,则,

所以由得,递增;

由得,递减,

所以在时取得最小值,最小值为,

所以恒成立,所以无解,

故不存在”倍值区间”;

对于③,,假设函数存在”倍值区间”,因为,

所以.

由得,由得,

所以在上递增,在上递减,

假设,

则函数在上递增,

所以,所以,所以,

所以函数存在”倍值区间”.

综上所述: 函数中存在“倍值区间”的有:①③.

故答案为:①③.

【点睛】

本题考查了函数的单调性,利用导数研究函数的最值,属于中档题.

12．【答案】，

【解析】将分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得实数的取值范围.

【详解】

当时，.当时，由得，构造函数，则，由于，故在上递减，在上递增，故，所以.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，属于中档题.

13．【答案】

【解析】将原方程转化为，令换元后构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得的值域，进而求得的取值范围.

【详解】

两边同时除以可得，令

题意即为存在使得成立，显然时等式不成立，

故当时，存在使得成立。

记

由得

在上为减函数，在为减函数，在为增函数；

且，从而，

故.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性．值域，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

14．【答案】

【解析】首先利用导数求曲线的切线方程，因为切线相同，可求出的表达式，然后利用导数研究的表达式的单调性，再求最值即可。

【详解】

解：设上的切点

∴，则

∴切线：

即：

设上的切点

∴，则

∴切线：

即：

∵相同的切线

∴

∴

∴

令

显然，是的根

记，则

∵，∴

∴，∴单调递减

即：单调递减

∴是方程的唯一根

∴当时，，则单调递增

当时，，则单调递减

∴当时，

即：的最大值是.

【点睛】

本题考查导数在求函数最值的应用，同时也要求较高的计算能力，难度一般。

15．【答案】

【解析】函数在时有极值，由，代入解出再检验即可。

【详解】

由题意知

又在时有极值，所以或

当时,与题意在时有极值矛盾，舍去

故，

故填

【点睛】

本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。

16．【答案】

【解析】

17．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．

【解析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．

【详解】

∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，

∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，

∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，

∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，

∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，

∴m2﹣m﹣2＞0，

即m＜﹣1或m＞2，

故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．

18．【答案】

【解析】结合球体，画出具体的几何体图像，设，则，外接圆的半径为，表示出三棱锥的高为，表示出三棱锥的体积公式，结合基本不等式，换元法，导数即可求得答案

【详解】

如图所示，设，则，外接圆的半径为

则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，

设，则，，

令，解得，在单增，单减，

，

所以三棱锥体积最大值为

【点睛】

本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，结合了基本不等式．换元法．导数求导方法，对思维转化能力，运算能力要求较高