北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题当堂达标检测题

【基础】7.2 实际问题中的最值问题-1作业练习

一．填空题

1．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是__________.

2．已知函数在处极值为，则______

3．函数在处有极值10，则的值为________．

4．若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为________.

5．已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.

6．已知函数，则函数的极大值为 ___________．

7．已知函数，若存在x0，使得，则实数a的值为_____.

8．函数是上的单调函数，则的范围是________.

9．已知在上是增函数，则a的取值范围是________．

10． 已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.

11．已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.（填出所有正确命题的序号）

12．已知函数，.下列有关的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).

①不等式的解集为或；

②在区间上有四个零点；

③的图象关于直线对称；

④的最大值为；

⑤的最小值为；

13．已知函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围是________．

14．若函数在区间内不单调，则k的取值范围是__________．

15．已知，方程有四个实根，则t的范围为_________.

16．函数在上的最大值为__________．

17．设函数，若对于任意，都有成立，则a的取值为__________．

18．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得.

详解：由可得函数定义域为且

若满足 有两个不同的极值点，

则需要满足有两个不同的实数根，

即在区间上有两个不同的实数根，

也即直线与函数有两个交点，

在直角坐标系中作图如下：

数形结合可知，故要满足题意，只需.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.

2．【答案】；

【解析】因为在处极值为，所以，求解可知的取值，检验可得结果.

详解：解：，，由题意可知：，解得：，或；

检验：当时，，则，不是的极值点，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查已知函数极值点求参数，考查极值点的定义，属于中档题.

3．【答案】

【解析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可确定结果.

详解：解∵函数

∴，

又∵函数，当时有极值10，

∴，∴或

当时，有不等的实根满足题意；

当时，有两个相等的实根，不满足题意；

∴

【点睛】

本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.

4．【答案】

【解析】函数在区间上不单调可以转化为导函数在区间内有解来解决

详解：解：，

∵函数在区间上不单调，

∴在内有解.

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数研究函数的单调性问题.属于较易题.

5．【答案】

【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.

点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

6．【答案】

【解析】对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.

详解：，故

解得， ，

令，解得

函数在单调递增，在单调递减，

故的极大值为

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.

7．【答案】

【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，曲线上点到直线的距离最小，要使，则，然后求解a即可．

详解：函数，

函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

动点M在函数的图象上，N在直线的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由得，，解得，

所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，

则，

根据题意，要使，则，

此时N恰好为垂足，由，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值．方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

8．【答案】.

【解析】由题意分析可知，原函数递增，只需使恒成立，然后求解的取值范围.

详解：令，则，

若函数是的单调函数，则函数只能是上的增函数，

所以，恒成立，

故，得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数与函数单调性，考查已知函数的单调性求解参数的取值范围，较简单.

9．【答案】

【解析】条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，然后求出右边的最小值即可

详解：因为在上是增函数

所以在上恒成立

即在上恒成立

因为在上单调递增

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用导数研究函数的单调性，较典型.

10．【答案】或

【解析】

由题可知：，

因为函数在上存在极值点，所以有解

所以，则或

当或时，函数与轴只有一个交点，即

所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去

所以或，即或

故答案为：或

11．【答案】①③

【解析】分析：首先可求出函数的导函数并判断出单调性，然后根据以及当时即可判断出①正确和②不正确，最后根据对进行转化，即可判断出③正确和④不正确，得出结果.

详解：因为函数，，

所以，易知在上递增，

因为，当时，，

所以，①正确，②不正确，

因为，即，

所以，

故③正确，④不正确，

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查函数的极值点的相关性质，函数的极值点左右两侧的函数单调性不相同，且极值点处的导函数值为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.

12．【答案】③④

【解析】由

①，即，又，则或，故①不正确.

②,则或，又

所以，共有5个零点，故②不正确.

③

所以，则的图象关于直线对称，故③正确.

④

设 ，则，则

由解得，由解得或

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

当时, ,当时, ,

当时，，当时，，

所以当时，函数有最大值

所以当时,函数有最小值

所以④正确，⑤不正确.

故答案为：③④

13．【答案】

【解析】若函数不经过第四象限，则在上，恒成立，求导函数，分析函数的单调性，求在上的最小值大于等于即可求出的范围.

详解：解：，

令，解得：或；令，解得：

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

在上，最小值为，若函数不经过第四象限，则，

，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最小值，考查学生分析问题的能力和转化能力，属于中档题.

14．【答案】

【解析】求解出，采用分类讨论的方法分析的单调性，从而求解出满足题意要求的的取值范围.

详解：因为，且，

当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；

当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；

当时，若，则，若，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，

综上可知：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的“不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果.

15．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

16．【答案】22

【解析】先求导可得,再利用导函数判断函数单调性,进而求得最值.

详解：由题,

所以当时,,所以在上单调递增；

当时,,所以在上单调递减,

则.

故答案为:

【点睛】

本题考查利用导函数求最值,考查运算能力，属于基础题.

17．【答案】

【解析】分析：求的导函数，整理后按字母讨论的单调性即可.

详解：记，，

求导得：

，

令，得和．

（1）当时，此时，此时．

即有单调递减，故时，；

时，．满足题意．

（2）当时，有，

从而时，，即单调递增．

而，故可知对时，均有．不合题意．

（3）当，有，时，单调递增．

而，故可知对于任意时，

均有．不合题意．

综上：

故答案为:

【点睛】

本题考查导数的应用，对参数的分类讨论是解题的关键，属于中档题．

18．【答案】

【解析】分析：设 ．代入解析式，得到两个方程联立可得，，，让取值域即可.

详解：设 ．则

所以，，联立可得

即对于有解，

令，

，

由可得：；由可得：，

所以在单调递减，在上单调递增，

，

，

，

所以，

所以值域为，

即可得的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.