北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题当堂达标检测题

【特供】7.2 实际问题中的最值问题-1作业练习

一．填空题

1．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____________.

2．若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是_________.

3．设曲线'上的一点，曲线上一点，当时，对于任意的，都有恒成立，则的最小值为__________．

4．函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．

5．若函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是_____

6．已知函数，则不等式的解集为__________．

7．若函数在区间单调递增，则的取值范围是__________.

8．设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.

9．已知不等式恒成立，则的最小值为______.

10．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________.

11．已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.

12．下列命题中正确的命题序号是_________ 

①命题“若则或”的否命题是“若则或”；

②不等式中当且仅当取等号；

③函数的最小值为4；

④若函数在上满足，则在上单调递增；

⑤函数的导数是

13．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．

14．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是______.

15．已知函数，，若与的图象有两个交点，，则当时，实数的取值范围为__________．

16．半径为2的球内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为______.

17．已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为________.

18．已知函数的定义域为R，为的导函数，若对任意，都有成立，且，则不等式的解集为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】不等式变形为（），然后求出函数的最小值即可得．

详解：∵，∴不等式可化为，

设，，

当时，，递减，时，，递增，

∴，

不等式在上恒成立，则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．

2．【答案】

【解析】分析：根据函数在区间上是单调增函数，转化为导数不小于0在区间上恒成立，分离参数，利用函数最值求解.

详解：，

函数在区间上是单调增函数，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

由(),

所以，

即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：由得：，则，构造函数，利用导数可求得，依题意，，解之即可求得的最小值．

详解：解：依题意，由得：，

，，由题意可知．

则，

令，

则，

在区间上单调递增，且，

当时，；当时，；

当时，取得最小值，即，

当时，对于任意．，都有恒成立，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数恒成立问题，分析得到是关键，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查分析问题．解决问题的能力，属于难题．

4．【答案】

【解析】，令得，

由于，

分离常数得.

构造函数，，所以在上递减，在上递增，.

下证：

构造函数，，当时，①，

而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.

由于，所以当时，，故，也即.

由于，所以.

所以的取值范围是

故答案为：

5．【答案】

【解析】先转化为导函数在上非负，再变量分离转化为求对应函数最值问题，即得结果.

详解：因为在[1，2]上单调递增，所以在上恒成立，

即；

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性问题以及不等式恒成立问题，考查综合分析转化求解能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】求导可得，所以在R上单调递减，且，所以当x<0,,当x>0时，．所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且函数f(x)为偶函数．变形为，只需，解得，填

【点睛】解复杂函数型不等式，可以先考虑函数的性质，如奇偶性．单调性等，可以利用函数性质解不等式．

7．【答案】

【解析】等价于在区间上恒成立，分离参数后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．

详解：解：函数在区间单调递增，

在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令其在上单调递增，

，当时，

时，函数递减，

时，；函数递增

，

；

故答案为：．

【点睛】

该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．

8．【答案】

【解析】构造函数，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解.

详解：设函数，是偶函数，，

所以函数是奇函数，且，

当时，，

即当时，单调递减，，

所以当时，，，

当时，，，

是偶函数，所以当时，，当时，，

所以使得成立的的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.

9．【答案】

【解析】分析：令，求得，求得函数的单调性与最大值，得到，得到，设设，

设，得到，利用导数求得函数最大值，即可求解.

详解：令，其中，可得，

当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；

当时，令，即，解得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，

且，

因为恒成立，即恒成立，

即，可得恒成立，

设，

设，可得，则，

令，即，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

10．【答案】

【解析】求出函数的导数，问题转化为在区间恒成立，求出的范围即可．

详解：，，

，

若函数区间上为减函数，

则在区间恒成立，

即，

因为，

所以，

所以.

故答案为：，．

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．

11．【答案】

【解析】对于函数求导，可知或 时，， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.

详解：对于函数

，

当或 时，，当时，，

所以 一定存在增区间，

若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，

则不能为增函数，

所以 ，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．【答案】②⑤

【解析】分析：根据否命题的条件和结论都否定，则①错误；由三角不等式性质知②正确；由基本不等式求函数最值的等号成立条件知③错误；由函数的导数与单调性知④错误；由求导公式得⑤正确.

详解：①命题“若则或”的否命题是“若则且”；故①错误；

由三角不等式性质知②正确；

③函数，当且仅当，即时等号成立，，故③错误；

若可导函数在上满足，则在上单调递增；故④错误；

由求导公式得⑤正确.

故答案为：②⑤

【点睛】

函数的单调性与导数的关系

函数在某个区间内可导：

(1)若，则在这个区间内单调递增；

(2)若，则在这个区间内单调递减；

(3)若，则)在这个区间内是常数函数．

13．【答案】

【解析】当，函数在上单调递增，且时， ，时， ，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，

当时，由于，所以，

令，，其定义域为，

则，令，即，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以在处取极大值也是最大值，

又由．，当时，

画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），

过点的直线介于．之间时满足条件，

直线过点时，的值为2；

该直线过点时，的值为，

由图知的取值范围是．

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，分类讨论，当，在上单调递增，不满足条件；当时，判断函数的单调性求出最大值，证明函数在上有一个零点，在上有一个零点即可求得a的取值范围.

详解：函数的定义域为，，

①若，则，所以在上单调递增，在不可能有两个零点；

②若，由得，

当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，

所以函数在处有最大值，

设，，所以在定义域上为减函数，

又，所以当时，，

此时，所以在上有一个零点，

设，

设，

当时，，所以在上为减函数，

又，所以当时，，则为减函数，

又因为，所以当时，恒成立，

因为，所以，即，

所以在上有一个零点，

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数在研究函数的性质中的应用．利用导数研究函数的零点，属于较难题.

15．【答案】

【解析】分析：由与的图象有两个交点可得，由，，将两式进行加．减可得：，根据，设，则代入可得，且，从而得出，又，则，从而得到答案.

详解：由与的图象有两个交点，

当时，显然与的图象只有一个交点，不满足条件.

当时，设的图象与的图象相切与点

则由，所以

所以，则

所以此时，

因为与的图象有两个交点，根据与的图象位置关系可得:

由与的图象有两个交点，

则，

将两式进行加．减可得： ①

又，设，则   ②

将②代入①，可得，即

所以，且

设，则

设，则，

所以在上单调递减，则

则，所以在上单调递减，当时，

且当时，

所以，即，则

又，则，，

有函数，可得在上恒成立，

所以函数在上单调递增，则

综上可得:

故答案为：

【点睛】

本题考查根据两函数图像的交点个数以及两交点横坐标的关系求参数的范围，涉及多变量的处理，属于难题.

16．【答案】

【解析】分析：画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高．

详解：解：设圆锥的高是，过球心的一个轴截面如图：

则圆锥的底面半径，

圆锥的体积，

，由解得，，

由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大．最大值为：．

故答案为：．

【点睛】

本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力．

17．【答案】

【解析】可知，从而根据条件可判断为减函数或存在极值点，求导数，从而可判断不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程有解，这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围.

详解：，

要满足，使得成立，

则函数为减函数或存在极值点，

，

当时，不恒成立，即函数不是减函数，

只能存在极值点，

有解，即方程有解，

即，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性．极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.

18．【答案】

【解析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.

详解：设，

则，

又，，即

所以，函数在R上单调递减，

又，

不等式，即，

所以，所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了构造函数，判断函数的单调性解不等式，属于基础题.