高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.3 函数的最值课后作业题

【精挑】6.3 函数的最值同步练习

一．填空题

1．下列四个命题（为自然对数的底数）

①；②；③；④.

其中真命题序号为__________.

2．对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

3．已知函数，且是函数的极值点.给出以下几个结论：① ；② ；   ③ ； ④ .其中正确的结论是___________（填上所有正确结论的序号）.

4．若函数只有一个极值点，则k的取值范围为___________.

5．函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是______.

6．已知函数在处有极小值10，则___________．

7．已知关于x的方程恰有四个不用的实数根，则当函数时，函数的极大值为____________，实数k的取值范围是____________.

8．函数的最大值为______.

9．函数取得极小值时的x值为________.

10．若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．

11．若函数在上单调递减，则实数的值为_______.

12．函数在区间上不存在极值点则实数a的取值范围为___________．

13．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．

14．函数，且对任意实数x都有，则________.

15．已知对于区间内的任意两个相异实数,,恒有成立,则实数的取值范围是______.

16．已知函数.

①当时，若函数有且只有一个极值点，见实数的取值范围是______；

②若函数的最大值为1，则______.

17．对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则______；______.

18．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】②③

【解析】构造函数，利用导数分析其单调性与最值，由，可判定①；由，可判定②；由，结合不等式的性质可判定④；由可得，可判定③.

详解：构造函数，则有导函数，显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故 ，

由，可得，即有，故①错误；

由，可得，即有，故②正确；

设，可得，在时，，即有，则，故③正确；

构造函数，则有导函数，显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

由，可得，故④错误.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查构造函数判定不等式成立与否，还考查了利用导数分析单调性与最值，属于难题.

2．【答案】

【解析】化简求得关于的不等式,再分析所得的的不等式与区间的关系列式求解即可.

【详解】

由,因为的两根分别为,且恒成立.故恒成立即在上恒成立,故.故实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数表达式恒成立的问题,包括含参数的不等式的求解以及分类讨论的思想等.属于中等题型.

3．【答案】② ④

【解析】求导后利用零点存在性定理可得①不正确，② 正确，利用为增函数可得③不正确，④正确.

【详解】

因为，所以，

所以为上的递增函数，

依题意有唯一零点，

因为 ，，

所以根据零点存在性定理有，所以①不正确，②正确，

又，所以③不正确，

所以，故④正确.

故答案为：②④

【点睛】

本题考查了函数的极值点，考查了零点存在性定理，考查了函数的单调性的应用，属于中档题.

4．【答案】

【解析】利用函数求导函数，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，，等价转化数形结合法即可得出结论，

【详解】

函数只有一个极值点，

，

若函数只有一个极值点，只有一个实数解，

则：，

从而得到：，

当 时，成立．

当时，设，，

当两函数相切时，，此时得到的最大值，但时不成立．

故的取值范围为：，

综上：的取值范围为：.

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值点．不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想．函数与方程思想．分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

5．【答案】

【解析】利用导数判断单调性，可得，判断的单调性，可得，根据

，可得结果

【详解】

由，所以

令，得或

又

当时，

当时，

所以函数在单调递减

在单调递增，

所以

又在单调递增

所以

根据题意：若，，

使得

即，

所以

可得得取值范围为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查恒成立与存在性问题的结合，这种题型往往转化为最值问题，属中档题.

6．【答案】

【解析】处有极小值可得，同时根据列出方程求解即可.

详解：因为，

所以，

又函数在处有极小值10，

且，

解得，或，

当时，

此时，是函数的极小值点，

当时，

，

此时，不是函数的极小值点，

，

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数极值的处理策略，关键是，，属于中档题.

7．【答案】     

【解析】求导得到，得到函数单调区间得到极值；画出函数图像，则和，故，，计算得到答案.

详解：，则，函数在和上单调递增，

在上单调递减，故函数的极大值为.

画出函数图像，如图所示：

设，则，原方程有四个不同的实数根，

则和，故，，

，即，根据图像知：，

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了函数极值，根据方程解的个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8．【答案】

【解析】由题得，再令，利用导数求函数的单调区间即得解.

【详解】

由题得，

令，

所以，

由得时函数f(t)单调递增，

由得函数f(t)在和时单调递减，

又，

所以函数的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．【答案】

【解析】根据函数的导数得其单调性，即可求出．

【详解】

因为，令，解得或，

当时，，当时，，当时，．

所以，当时，函数取得极小值．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题．

10．【答案】①③.

【解析】对于①根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式②,根据移项变形,构造函数,通过求即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于③,构造函数,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.

【详解】

对于①若成立.两边同时取对数可得

,化简得

因为

则,不等式两边同时除以可得

令,

则

当时, ,所以

即在内单调递增

所以当时,即

所以

故①正确

对于②若,化简可得

令,

则

由可知在内单调递增

而

所以在内先负后正

因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断与的大小关系.故②错误.

对于③,若

令

利用换底公式化简可得,

则

当时,

所以,即

则在内单调递减

所以当时,

即

所以③正确

综上可知,正确的为①③

故答案为: ①③

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题.

11．【答案】

【解析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.

【详解】

依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

12．【答案】

【解析】根据题意函数在区间上不存在极值点，可建立不等式组，即可求出结果．

详解：由函数得：．

令，解得或，

令，解得．

所以函数在和上递增，在上递减．

函数在处有极大值，在处有极小值．

因为函数在区间上不存在极值点，

所以或或，

解得或或

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的极值问题，属于中档题.

13．【答案】.

【解析】设，得到故为单调增函数，，再利用单调性解得答案.

【详解】

令，因为，所以.

所以为单调增函数.因为，所以.

所以当时，，即，得，解集为

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键.

14．【答案】

【解析】由得关于对称，根据三角函数的对称关系，当时，取得最值，亦为最值，得到，求出的三角函数值，进而求出结论.

【详解】

依题意为极值点，，∴

∴，∴.

故答案为:

【点睛】

本题考查三角函数的对称性，转化为函数的极值，利用求导的方法达到求值的目的，属于中档题.

15．【答案】

【解析】利用导函数易得在上单调递增,设,则,由此可得,则,所以设,则在上单调递增,即在上恒成立,进而求解即可

【详解】

因为,所以在上恒成立,即在上单调递增,

设,则,

因为,

所以,则,

设,则在上单调递增,

所以在上恒成立,则,

因为在上单调递减,在上单调递减,

所以在上单调递减,

所以当时,取得最大值为,

故的范围是,

故答案为:

【点睛】

本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想

16．【答案】     

【解析】①首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围.

②分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值.

【详解】

①当时，.

，令，解得.

因为函数在有且只有一个极值点，

所以.

②当时，，此时，舍去.

当时，

，.

，..

所以，因为，所以.

当时，

，.，

令，解得.

，，为增函数，

，，为减函数.

.

，..

当时，即，，解得.

当当时，即，，解得，舍去.

综上所述：.

故答案为：①，②

【点睛】

本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.

17．【答案】     

【解析】利用二阶导数求出三次函数的拐点，进而可得出三次函数图象的对称中心坐标，由此可计算出以及的值.

【详解】

，，，

令，得，又，

所以，三次函数图象的对称中心坐标为，即，

所以，，

，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查新定义“拐点”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查计算能力，属于难题.

18．【答案】

【解析】根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.

【详解】

对任意都存在使成立，

所以得到，

而，所以，

即存在，使，

此时，，

所以，

因此将问题转化为

存在，使成立，

设，则，

，

当，，单调递增，

所以，

即，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.