数学选择性必修 第二册第二章 导数及其应用7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义测试题

这是一份数学选择性必修 第二册第二章 导数及其应用7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义测试题，共24页。
【基础】7.1 实际问题中导数的意义同步练习一．填空题1．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.2．已知函数，则的单调减区间为__________.3．已知函数（为自然对数的底数，），当时，函数有______个零点；若函数有四个不同零点，则实数的取值范围是______．4．设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为      ．5．已知函数为偶函数，函数，则______；若对恒成立，则的取值范围为______.6．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则关于的方程的解集为_____________.7．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．8．已知函数，，若曲线与在处有相同的切线，则函数的最小值为________.9．已知函数，若有3个零点，则实数的取值范围为________.10．在锐角三角形中，已知，则的取值范围是________.11．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.12．定义在R上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为____________13．设直线与函数，的图象分别交于点，则当达到最小值时，的值为________．14．已知函数，函数在上的最大值为__________.15．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是__.16．函数的单调减区间是______．17．设函数是奇函数的导函数， ，当时，，则不等式的解集为______________.18．已知函数在区间上有四个不同的零点，则实数的取值范围为______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】构造函数，由已知可得当时，，从而可得函数在单调递减，右由已知可得函数是定义在上的奇函数，故可得，且在单调递减，结合图像，即可求得结果.详解：解：当时，，，令，当时，，单调递减，即在单调递减.分别是定义在上的奇函数和偶函数，，是定义在上的奇函数.在单调递减，且.，.根据单调性和特殊点画出函数图像如图：由图像可得的解集为，即不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性的应用，构造函数解不等式，数形结合的思想，属于中档题.2．【答案】【解析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就是所求的单调减区间详解：解：函数的定义域为，由，得，令，则，解得，又因为，所以，所以的单调减区间为，故答案为：【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.3．【答案】      【解析】当时，由可得出，令，可得出，解得，，利用导数研究函数的单调性与极值，观察直线．与函数图象的交点个数，可得此时函数的零点个数；令，可得出，令，可得出，解得，，由题意可得，，进而可解得实数的取值范围.详解：当时，，，令可得，令，可得，整理得，解得，.对于函数，，令得，列表如下：单调递增极大值单调递减 当时，，如下图所示：由图象可知，直线与曲线有个交点，直线与曲线只有个交点，所以，当时，函数的零点个数为；对于函数，，令，可得，令，可得，即，即，由于函数有四个不同零点，则关于的方程必有两个不等实根．，且，，所以，，则，解方程得，，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，将问题转化为复合函数的零点是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于较难题.4．【答案】【解析】详解：设，∴，∵是定义在上的奇函数，∴，∴是定义在上的偶函数，∵当时，，∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∵，∴，∵，∴，，或，，∴或.∴关于x的不等式的解集为.考点：利用导数研究函数的单调性.5．【答案】1      【解析】由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得为奇函数，进而根据奇函数的定义求得；将题中不等式分离参数为，构造函数，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到的取值范围为.详解：因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，∴，所以，则.因为对恒成立，所以对恒成立.设函数，则，显然在上单调递增，且，所以当时，；当时，.从而可得，故的取值范围为.故答案为：1；.【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题，难度中等，关键是分离参数，构造函数并利用导数求函数的最值.6．【答案】【解析】由所给等式变形可得，则，令可求得c从而求出的解析式，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.详解：因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，则，，当时，，函数在上单调递增，又，所以的解集为.故答案为: 【点睛】本题考查导数的运算法则．利用导数研究函数的单调性．利用函数的单调性解不等式，属于中档题.7．【答案】【解析】由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.详解：，即.设.,.由，得；由，得或，函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示当时，.又，且时，，由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需满足，即.所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.8．【答案】0【解析】首先对函数和求导，代入，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得，利用导数研究的单调性，确定出最小值，得到结果.详解：因为，，有，，所以，且，所以在处的切线方程为，即，在处的切线方程为，即，因为两条切线相同，所以有，解得，所以，，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在时单调递增，所以在处取得最小值，且，故答案为：0.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.9．【答案】【解析】分别画出函数与的图象，根据两图象的交点有3个，可得结果.详解：由题可知：有3个零点等价于函数与的图象有3个交点当时，，则可知若，，则函数单调递减若，，则函数单调递增当时，，则则函数在单调递增又直线恒过原点如图当直线与相切时，设切点为，所以，所以当直线与相切时，切点为原点所以，则由函数在单调递减，在单调递增所以，所以又函数与的图象有3个交点则故答案为：【点睛】本题考查根据函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中档题.10．【答案】【解析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到取值范围，利用三角函数的恒等变换化简为，构造函数利用导数研究其值域即可.详解：由题意可得，，即.不妨设则由得 令 ，单调递减，单调递增，取得极小值，也是最下值，，所以在上的值域为，所以 ,又△为锐角三角形，所以，则 ，故 . ,令，故在 上单调递增，所以的值域为 故的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.11．【答案】      【解析】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为，所以表面积，然后利用导数可求出答案.详解：设底面的长为，则由条件可得宽为，高为所以表面积因为，，所以在上单调递减，上单调递增所以当时取得最小值，即此时长为，宽为，高为故答案为：；【点睛】本题考查的是长方体的表面积．体积公式和利用导数求最值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.12．【答案】.【解析】利用是偶函数．以及导数可得在上为递减函数，再根据奇偶性和单调性可解得结果.详解：因为是偶函数，所以且，因为，所以，因为，且，所以，所以在上为递减函数，所以，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.13．【答案】1【解析】先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解．详解：解：设，则，当时，，当时，，即函数在为减函数，在为增函数，即，即当达到最小值时，的值为1，故答案为：.【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．14．【答案】【解析】根据，求导函数，根据在上单调性求解.详解：因为函数，所以，所以在上单调递增，所以函数在上的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【答案】.【解析】利用导数判断出函数的单调区间，作出函数的图象，数形结合即可详解：解：当时，函数单调递增；当时，，则时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取极小值，极小值为；当时，作出函数的图象如图：函数恰有3个零点，等价于函数与的图象有且仅有3个交点，由图可知，，故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题.16．【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.17．【答案】【解析】根据当时，，构造函数 ，求导，在上是减函数，再根据是奇函数，在上是增函数，由，，写出的解集.详解：设 ，所以，因为当时，，则，所以在上是减函数，又因为是奇函数，所以在上是增函数，因为，所以，所以当 或时，，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【答案】【解析】根据函数在R上有四个不同的零点，得到和上各自都有两个零点，分类讨论，即可求解．详解：由题意，要使得函数在R上有四个不同的零点，则当和上各自都有两个零点，当时，函数的两根方程为，，所以，解得；当时，函数，则，解得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当，函数取得最大值，所以，解得，综上可得实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到二次函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．