数学第一章 数列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和复习练习题

【精编】3.2 等比数列的前n项和-1课堂练习

一．填空题

1．《九章算术》中有一题：今有牛．马．羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛．马．羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿__________斗栗，羊主人应偿还__________斗栗.

2．数列中，若，，则__________.

3．在正项等比数列中，已知，则的值为______.

4．已知数列满足，，则等于______.

5．已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.

6．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为______．

7．等比数列满足：，则______.

8．等比数列中，＝2，q＝2，＝126，则n＝________.

9．在等比数列中，，则公比__________．

10．设，，，给出以下四种排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．

已知等比数列中的各项都为正数，，且__________依次成等差数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，求满足的最小正整数n．

注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．

11．已知{an}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝_____．

12．已知数列满足，，，则等于____________.

13．在正项等比数列中，若，，，成等差数列，则______.

14．在正项等比数列中，，则______.（用数字及表示）

15．在等比数列中，>，且，则_____________.

16．已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为__________.

17．已知数列满足，则数列是_________数列（填“递增”或“递减”），其通项公式________.

18．在等比数列中，，，则________．

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】设牛主应赔偿，马主赔偿，羊主应赔偿，则，，成公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.

详解：由题意设羊主应赔偿，马主赔偿，牛主应赔偿，

则，，成公比为的等比数列，

所以，解得，所以，

故答案为：；

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

2．【答案】

【解析】利用数列的递推关系式，推出

详解：解：数列中，…，若，，

可得，即是首项为，公比为的等比数列.

所以，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的递推式，考查了等比数列的确定，属于中档题.

3．【答案】

【解析】利用等比数列的性质即可得出．

详解：解：正项等比数列{an}中，由，

，

则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．【答案】

【解析】构造等比数列，根据基本量写出等比数列的通项公式，则可求.

详解：由，得，且，

所以数列，，

因此是以3为首项，公比为3的等比数列，

故，因此.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用构造数列法求数列的通项公式，属基础题.

5．【答案】

【解析】可全部用进行代换，结合等比数列性质求解即可

详解：由题可知，，，则

故答案为

【点睛】

本题考查等比数列的性质，代换出与的关系是解题的关键，属于基础题

6．【答案】2

【解析】由等比数列的性质，化简a4a6a8a10==16，解得a7=2，再由===a7，即可求解．

详解：由题意，在各项均为正数的等比数列{an}中，a4a6a8a10=16，

结合等比数列的性质，可得a4a6a8a10==16，解得a7=2，

又由===a7=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用的等比数列的性质，结合数列的等比数列的通项公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

7．【答案】1

【解析】设数列的公比为，由题易得，从而得出的值.

详解：设数列的公比为，则，即，所以，

所以.

【点睛】

本题考查等比数列的应用，侧重考查对基础知识的理解的掌握，考查计算能力，属于常考题.

8．【答案】

【解析】直接利用等比数列公式计算得到答案.

详解：＝2，q＝2，故，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.

9．【答案】

【解析】本题先用，表示，，再建立方程组解题即可.

详解：解：∵ 是等比数列，∴ ，

∵，，∴ ，解得：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列的基本量法，是基础题.

10．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.

试题分析：（Ⅰ）根据选的条件求出等比数列的公比，写出其通项公式即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得出数列的通项公式，然后利用等比数列前项和解不等式，再由确定其最小值.

详解：解：（解答一）选②或③：

（Ⅰ）设的公比为q，则．由条件得，

又因为，所以，即，

解得（负值舍去）．所以．

（Ⅱ）由题意得，则．由得

，即，又因为，所以n的最小值为7.

（解答二）选①或④：

（Ⅰ）设的公比为q，则．由条件得，

又因为，所以，即，

解得（负值舍去）．所以．

（Ⅱ）由题意得，则．由得

，即，又因为，所以n的最小值为5.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项，以及求和公式，属于基础题．

【解析】

11．【答案】3

【解析】利用等比数列的通项公式列出方程，能求出此数列的公比.

详解：∵{an}为递增的等比数列，a2=3，a3+a4=36，

∴3q+3q2=36，且q>0，

解得此数列的公比q=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了等比数列公比的求解，考查运算求解能力，属于基础题．

12．【答案】

【解析】根据，得出奇数项成等比数列，然后可求.

详解：因为，所以，两式相除可得，

所以奇数项成等比数列，且公比为2，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式，根据条件得出等比数列是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

13．【答案】

【解析】根据等差中项的性质,列出等式求解,进而得出结论.

【详解】

设正项等比数列的公比为,

由,,,成等差数列,

可得,

解得或(舍),

所以,

故答案为:.

【点睛】

本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力.

14．【答案】

【解析】利用等比数列的基本性质和对数的运算性质可得出结果.

详解：由等比数列的性质可得，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用等比数列的基本性质和对数的运算性质求值，考查计算能力，属于中等题.

15．【答案】5

【解析】利用等比数列的性质可得，再利用对数的运算性质即可求解.

详解：由数列为等比数列，>，且，

则，即，

，

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质．对数的运算性质，属于基础题.

16．【答案】4

【解析】设等比数列的公比为，建立方程计算得到答案.

【详解】

设等比数列的公比为，因为与的等差中项为，所以，

所以，又，所以，

又数列的各项均为正数，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

17．【答案】递增     

【解析】根据题意，将变形可得，据此分析可得列是以为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，变形可得，据此分析可得答案．

【详解】

根据题意，数列满足，即，

又由，则，

则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，

则，

则数列是递增数列；

故答案为：递增，.

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．

18．【答案】6

【解析】根据是等比数列，且，，利用等比中项求解.

详解：因为在等比数列中，，，

所以，

所以．

因为，

所以．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.