高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题课时作业

【特供】7.2 实际问题中的最值问题课堂练习

一．填空题

1．函数的单调递减区间是______．

2．已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____.

3．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是圆O的直径，上底C．D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.

4．函数在上的最大值是____．

5．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为______.

6．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.

7．已知函数的最小值为，则_____．

8．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.

9．函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．

10．函数的极大值是______.

11．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为________.

12．已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________.

13．若函数

    ____.

14．设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.

15．已知函数，则的最小值是_____________．

16．函数的极大值是______.

17．函数的极大值为________.

18．f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如下图所示.令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的结论:

①若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称;

②若a=-1,-2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根;

③若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根;

④若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个实根.

其中,正确的结论为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出函数的导数，在定义域内令求得的范围，可得函数的减区间．

详解：的定义域是，

，

令，解得：，

所以在递减，故答案为

【点睛】

本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.

2．【答案】[ln2，2）

【解析】用表示出，得出关于的函数，根据的范围，判断函数单调性得出值域即可．

详解：显然，，

由题意可知，故，

，

由可得，故，，

设，

则，在，上单调递减，

又，，

．

故答案为：，．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．【答案】

【解析】连，过作，垂足为，设，则，则等腰梯形的面积，令，利用导数求其最值.

详解：连，过作，垂足为，如图：

设，则，

所以等腰梯形的面积

令

，

单调递增，

单调递减，

所以时，取得极大值，也是最大值，

，即的最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.

4．【答案】

【解析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．

详解：函数，，令，解得．

因为，函数在上单调递增，在单调递减；

时，取得最大值，．

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性．极值与最值是解题的关键．

5．【答案】

【解析】将问题转化为有零点，利用的最值，和的最值根据等号成立的条件求解参数的取值.

详解：构造函数：，

存在实数使成立，

即有解，

考虑函数，

，

所以在递减，在递增，

所以，

，当且仅当时，取得等号，

所以

要使有零点，必须零点为，且，

即.

故答案为：.

【点睛】

此题考查根据方程有根转化为函数有零点求解参数的取值范围，关键在于准确构造函数，利用函数单调性和基本不等式求解最值.

6．【答案】

【解析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.

详解：因为存在，，使得成立，

所以只需，

因为，当时，当时，，

所以在中单调递减，在中单调递增，

所以，

令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.

因为

（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；

（2）当时，，，不合题意舍去；

（3）当时，由可得，可得，

∴在中单调递增，在中单调递减，

∴，

∴只需，即，

令，则.

由可知，，

∴在中单调递减，在中单调递增，

又时，，

∴的解为，即的解为.

综上所述，所求实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双变量问题，导数与函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.

7．【答案】

【解析】利用导数求出函数的最小值，结合题中条件可求出实数的值.

详解：函数的定义域为，且，

令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在取得极小值，亦即最小值，即，因此，.

故答案为.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.

8．【答案】

【解析】根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.

详解：由题意得：.

有两个极值点，有两个不等实根，

即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，

，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

；当时，；当时，，

可得图象如下图所示：

由图象可知，若与有两个不同交点，则，

解得：，即实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.

9．【答案】

【解析】由题意得，得，设，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，因为当时，，当时，，所以要使得函数在区间上有两个零点，所以实数的取值范围是．

考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．

10．【答案】-1

【解析】确定函数的定义域，求出，进而得出单调区间，即可得到极大值.

详解：的定义域为，

∵，∴，

令，解得，

当时，；当时，，

递增区间是，递减区间是，

故在处取得极大值，极大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题.

11．【答案】

【解析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于，极小值小于，即可得到答案.

详解：由题意可得：函数，

所以，

令，则或，

令，则，

所以函数的单调增区间为和，减区间为

所以当时函数有极大值，

当时函数有极小值，，

因为函数有三个零点，

所以且，

解得，故实数a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在研究函数单调性．极值中的应用，考查了函数的零点个数求参数的取值范围，属于基础题.

12．【答案】

【解析】根据题意得存在，使得成立，即存在能成立，令，则只需使，，最后根据函数单调性求函数最值即可得答案.

详解：解：∵ ，，

，

∴在上单调递增，

；

根据题意可知存在，使得.

即能成立，

令，

则要使在能成立，只需使，

又在上恒成立，

则函数在上单调递减，

，

，即实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查能成立与恒成立问题，考查化归转化思想，是中档题.

13．【答案】32

【解析】略

14．【答案】

【解析】由区间的表示可知,令，存在，使成立等价于，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数在区间上的单调性，即可求出的取值范围.

详解：∵存在，使成立，∴，得；

令；

∴；

∵，，，令，即时，递增；时，递减；

①若，即在上单调递减；

∴，对恒成立；

②若，即，在上先递减后递增；

∴，∴，，即，

综上的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题结合函数考查不等式的存在性问题，属于难题.将存在，使成立转化为最值是解本题的关键.

15．【答案】

【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.

详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.

16．【答案】-1

【解析】确定函数的定义域，求出，进而得出单调区间，即可得到极大值.

详解：的定义域为，

∵，∴，

令，解得，

当时，；当时，，

递增区间是，递减区间是，

故在处取得极大值，极大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题.

17．【答案】

【解析】求得函数的定义域，再对其求导，令，解得驻点，说明单调性，即可找到并求得极大值.

详解：因为函数，其定义域为

求其求导

令，得

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减

所以时，由极大值

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极大值，其过程优先确定定义域，求导并令导函数等于零得到驻点，分析驻点左右单调性，进而求得极值，属于较难题.

18．【答案】②

【解析】由函数为奇函数，当时与有相同的奇偶性；的图象可由上下平移得到．充分利用以上知识点逐项分析即可解答．

详解：①若，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以①错误；

②当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，所以②正确；

③若，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，

那么仍有三个零点，所以有三个实根，所以③错误；

④若，则的图象由的图象向上平移2个单位长度，它此时有2个零点，即有二个实根，所以④错误．

故答案为：②．

【点睛】

本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查由到的图象变化．属于中档.

该题考查利用导数研究函数的单调性．极值，考查数形结合思想，属中档题．