北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值课后练习题

【优编】6.2 函数的极值-1课时练习

一．填空题

1．已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．

2．已知不等式恒成立，则的取值范围是______.

3．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，．则不等式的解集为__________．

4．函数，，当时，函数仅在处取得最大值，则的取值范围是______.

5．已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为______．

6．定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围是__________.

7．已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．

8．已知关于的不等式有解，则整数的最小值为______．

9．若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为________．

10．已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.

11．已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为______.

12．如图有一个帐篷，它下部的形状是高为（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为（单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．

13．已知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是______．

14．已知函数,若函数在区间上存在两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是_____________.

15．已知定义在上的可导函数的导函数为,满足且,则不等式（为自然对数的底数）的解集是________.

16．已知函数，若，且，则的最小值是_____.

17．已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.

18．函数的单调递增区间为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据函数有两个不同的极值点,通过求导,可以求出的取值范围,求出 的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出的取值范围.

【详解】

,因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有：,解得.

,

设,

,故在上单调递增,故,所以.因此

的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.

2．【答案】

【解析】设，，不等式恒成立，转化为函数的图像不在直线的下方，求出的单调区间以及极值．最值，作出函数的图像，用数形结合方法，即可求出的取值范围；或分离出参数，构造新函数，转化为与新函数的最值的大小关系.

【详解】

直线l:是斜率为且过点的直线，

时单调递减；

时，单调递增.

，

当

所以时，不符合条件

所以时，符合条件

时，若，则

所以只需再考虑的情况：

法一：

如图示设时直线l与相切，

则当且仅当时符合条件.

设直线l与相切于点，

则,

,

所以

注

递增，且.

法二：时：

在上单调递增，又

时，

【点睛】

本题考查导数的应用，考查函数的单调区间．极值最值，考查等价转换．数形结合．分类讨论等数学思想，是一道综合题.

3．【答案】

【解析】令，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．

【详解】

令，

则，

所以在上为单调递增，且，

所以，

解得．

由是定义在上的奇函数得，

所以在为偶函数，且

所以不等式的解集为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

4．【答案】

【解析】求出原函数的导函数，对分类，根据函数在上的单调性逐一分析求解．

【详解】

解：．

若，则在上恒成立，在上单调递减，不合题意；

若，由，得，，

在上单调递减，不合题意；

若，当时，，在上单调递增，符合题意；

当时，，在上单调递减，不合题意；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

要使当时，函数仅在处取得最大值，

则，即．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

5．【答案】

【解析】求导可知函数在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的，均有，构造函数，则函数在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．

【详解】

解：，

任意的，恒成立，所以单调递增，

不妨设，则，又，

故等价于，

即，

设，

易知函数在上为减函数，

故在上恒成立，即在上恒成立，

设，

则，

故函数在上为减函数，则，故．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．

6．【答案】

【解析】令，求出的导数，得到的单调性，可得，由，即可得到，得到结果.

【详解】

令，

则，

因为，即，

所以在恒成立，

即在上单调递减，

可得，即，

由，可得，则；

令，，

因为，即，

所以在上单调递增，可得，

即，则，

即有，

故答案是：.

【点睛】

该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.

7．【答案】

【解析】可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证．

【详解】

时，不等式为，不恒成立；

时，，令，，由得，

当时，，递增，时，，递减，

∴时，，要使命题成立，则，；

时，函数是增函数，在唯一零点，

，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，

∴，，

综上的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子和分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．

8．【答案】

【解析】令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最小值.

【详解】

构造函数，则，

对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增.

，.

由零点存在定理知，存在，使得.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得最小值，

即，

由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

所以，当时，，

，使得，，

因此，整数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

9．【答案】或

【解析】先求解导数，结合导数的符号，确定函数的单调性，结合极值情况可求.

【详解】

，

当时，时，，时，，所以有极小值，由题意，令可得；

当时，，显然成立；

当时，，为增函数，且有，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极大值，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极小值，有极大值，

，若函数有且仅有1个零点，

则需要，即，

易知当时，恒成立.

综上可得或，故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查利用导数求解函数的零点问题，零点问题一般是结合导数，研究函数的单调性，极值等，结合图象走势情况进行求解，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

10．【答案】-1

【解析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．

【详解】

由图象，得当时， ，当且时， ， ，即函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值.

【点睛】

本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．

11．【答案】43.

【解析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合（为常数）在上有最小值3，求出的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值.

【详解】

，

,

令，解得或，

当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以在时有极小值，也是上的最小值，

即，

函数在上的最大值在或时取得，

，

函数在上的最大值为43.

故答案为：43

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.

12．【答案】

【解析】设出顶点到底面中心的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．

【详解】

解：设为，．

则由题设可得正六棱锥底面边长为：．

于是底面正六边形的面积为，

帐篷的体积为．

可得：．

求导数，得．

令，解得（舍去），．

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

当时，有最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

13．【答案】

【解析】根据求得的值，由此化简，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于函数在上是增函数，所以恒成立，故，即，所以.故即在上恒成立，等价于①，或②.

由①得③，构造函数，，所以在上，递减，在上，递增，最小值为，所以③等价于，解得.

由②得④.由解得.根据和的单调性可知，当且仅当时，④成立.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.

14．【答案】

【解析】要求实数的取值范围，从条件“函数在区间上存在两个不同的极值点”入手，将此条件转化为方程有两个不等正实数解，结合进行求解即可得解.

【详解】

解：因为函数,所以，又函数在区间上存在两个不同的极值点，即方程有两个不等正实数解，则 ，解得 ，①

由题意可知，

解得： ，即，②

联立①②得：实数的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数与导数综合应用，重点考查了化归与转化思想，函数与方程思想及运算求解能力，属综合性较强的题型.

15．【答案】

【解析】根据已知的不等式和所求的不等式,构造新函数,利用新构造的函数的单调性可以求解出不等式的解集.

【详解】

设,因为,所以,因此是单调递增函数,因为,所以.

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了构造函数,利用函数的单调性解不等式问题,根据题中所给的形式．所求不等式的形式进行构造是解题的关键.

16．【答案】

【解析】根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.

【详解】

因为函数在上递增,在上也递增,且时,,

所以,所以,,

所以,即,

所以,,

令,

则,

当时,,当时,,

所以在上递减,在上递增,

所以时,取得最小值.

即的最小值是:.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.

17．【答案】     

【解析】（1）利用导数求得函数的单调区间，由此求得的最大值.

（2）对因式分解，将此方程有三个不同实数解，转化为，的解的个数来求解的取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值.

（2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为.

当时，当时，，当时，.

由，即.

由上述分析可知有一个解.故需有两个不同的解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是.

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的最大值，考查利用导数研究方程的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

18．【答案】

【解析】先求导，根据导数正负求解单增区间即可

【详解】

由题可知，，，令得，当时，，单调递增；时，，单调递减，故的单调递增区间为

故答案为：

【点睛】

本题考查根据导数求解函数增减区间，属于基础题