北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列2 等差数列2.1 等差数列的概念及其通项公式达标测试

【精挑】2.1 等差数列-1练习

一．填空题

1．在等差数列中，，，则______．

2．都匀文峰塔位于黔南州都匀市，始建于明代万历年间.1983年，人民政府拨款维修文峰塔，现成为塔底直径8.5米，塔高33米，七层六面的实心石塔，是贵州唯一载入《中国古塔》图册的石塔，号称“贵州第一塔”.假设该塔每上一层底面直径都减少0.9米，则该塔顶层的底面直径为______米.

3．已知是等差数列的前项，则_______________________．

4．已知等差数列满足，则_________．

5．已知是等差数列，是它的前项和，若，，则__________.

6．设等差数列的前项和为，若，，则______．

7．已知等差数列的前项和为，若，则______．

8．已知数列满足①，②，请写出一个满足条件的数列的通项公式________．（答案不唯一）

9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.

10．设是等差数列的前项和，若，则________.

11．在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：，则蚂蚁在爬行过程中经过的第114个格点的坐标为______．

12．《九章算术》是中国古代张苍．耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数)

13．已知等差数列中，，，那么等差数列的通项公式为___________.

14．已知数列，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.

15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文．气象进行长期观察．研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑．大暑．立秋．处暑．白露．秋分．寒露．霜降．立冬．小雪．大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑．立秋．白露的日影子长的和为尺，霜降的日影子长为尺，则秋分的日影子长为_______________________尺．

16．袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为__________.

17．已知等差数列和的前项和分别为和，若，则______．

18．记分别为等差数列的前项和，若，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】5

【解析】分析：由等差数列性质可得，然后求出公差后可得．

详解：因为，所以，则，．

故答案为：5.

2．【答案】3.1

【解析】分析：利用等差数列的通项公式即可求解.

详解：由题意可得该塔第一层至第七层的底面直径数依次成等差数列，

且首项为8.5米，公差为-0.9米，

故该塔顶层的底面直径为米.

故答案为：3.1

3．【答案】

【解析】分析：解方程即得解.

详解：由题得

所以.

故答案为：0

4．【答案】10

【解析】分析：根据等差中项的性质求得，因此，，得出结果.

详解：由等差中项的性质可得，可得，因此，．

故答案为：10.

5．【答案】42

【解析】分析：设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解出．，再根据等差数列求和公式计算可得；

详解：解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以

故答案为：

6．【答案】77

【解析】分析：依题意利用等差中项求得，进而求得.

详解：依题意可得，则，故．

故答案为：77.

7．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的性质结合已知条件得，进而根据求解即可.

详解：解：由等差数列的性质得，

因为，所以，

所以

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答.

详解：，说明数列是递增数列；

由，不妨设该数列为等差数列，

则公差为1，首项为1，

所以.

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：利用等差数列的通项公式得到，再根据等差数列的求和公式可解得结果.

详解：设等差数列{an}的公差为，

则，即，

所以.

故答案为：.

10．【答案】10

【解析】分析：直接利用性质求出，代入前n项和公式即可求解.

详解：因为为等差数列，所以，

所以.

故答案为：10.

11．【答案】

【解析】分析：根据已知条件推出以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，即可根据等差数列的前项和公式求出．

详解：以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，，所以以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，故等差数列的前项和为，由，解得．

当时，以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，故蚂蚁在爬行过程中经过的第114个格点的坐标为．

故答案为：．

12．【答案】

【解析】分析：记从下部算起第节的容量为，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得.

详解：记从下部算起第节的容量为，

由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，

则，解得：，

，即从下部算起第节容量是升.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：根据已知条件求得，由此求得.

详解：依题意.

故答案为：

14．【答案】3

【解析】分析：当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.

详解：当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，

故该数列的前项的和为，解得.

故答案为：3

15．【答案】

【解析】分析：根据给定条件列出关于等差数列的首项，公差的方程组并求解即可作答.

详解：依题意设十二个节气的日影子长依次成的等差数列为，其公差为d，

由小暑．立秋．白露的日影子长的和为尺，霜降的日影子长为尺，得，，

于是得，解得，从而得数列通项，

故秋分的日影子长=尺.

故答案为：

16．【答案】

【解析】分析：由题意可知，则标号小于7有三个球，应用古典概型的概率求法，求任取两个小球号码均小于7的概率即可.

详解：由题意知：，即，可得，

∴标号小于7有三个球，

∴任取两个小球，号码均小于7的概率为.

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的求和公式和性质即可求解.

详解：.

故答案为：.

18．【答案】100

【解析】分析：利用通项公式求得，结合等差数列求和公式求得结果.

详解：，所以前10项的和为.

故答案为：100.