高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式练习

【精品】2.1 等差数列-1课时练习

一．填空题

1．设等差数列的前项和为，若，，则______．

2．已知数列，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.

3．已知等差数列．．．的前10项之和为10，最后10项之和为100，则______.

4．设为等差数列的前项和，若，则___________.

5．某人将个连续自然数．．．．相加，由于计算时漏加了一个自然数，而得出错误的和值为，则漏加的自然数是___________.

6．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．

7．等差数列中，，，则_____________.

8．记分别为等差数列的前项和，若，则__________.

9．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为________.

10．已知公差不为0的等差数列满足，则=______ .

11．在等差数列中，，则_________;

12．已知数列首项，且，则数列的通项公式是=_________________

13．已知数列的前项和为，，，则___________.

14．等差数列的前项和为，若，公差，有以下结论：

①若，则必有；    ②若，，则；

③若，则必有；    ④若，则必有．

其中所有正确结论的序号为______．

15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.

16．已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.

17．已知是公差为的等差数列，若，则______.

18．已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】77

【解析】分析：依题意利用等差中项求得，进而求得.

详解：依题意可得，则，故．

故答案为：77.

2．【答案】3

【解析】分析：当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.

详解：当时，若有n个1，由题知，数列共有项，

当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，

所以前项中含63个1，其余均为x，

故该数列的前项的和为，解得.

故答案为：3

3．【答案】

【解析】分析：利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求解．

详解：设公差为，则，解得．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：根据列出式子求出公差即可求出.

详解：设等差数列的公差为，

则由可得，即，

，，

.

故答案为：2.

5．【答案】

【解析】分析：设漏加的自然数为，根据已知条件可得出关于的不等式，求出的值，即可得出关于的等式，进而可求得的值.

详解：设漏加的自然数为，因为，

由已知条件可得，，解得，

由已知条件可得，因此，.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.

详解：良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，

则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)，

而驽马日行里数(里)，

所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．

故答案为：1146.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.

7．【答案】24

【解析】分析：直接利用等差数列的性质即可.

详解：因为为等差数列，所以，

所以.

故答案为：24

【点睛】

等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．

8．【答案】100

【解析】分析：利用通项公式求得，结合等差数列求和公式求得结果.

详解：，所以前10项的和为.

故答案为：100.

9．【答案】1

【解析】分析：由及用基本量表示，然后解方程组可得答案.

详解：由已知有，

，解得.

故答案为：.

10．【答案】0

【解析】分析：根据题意可化简得出，再根据求和公式即可求出.

详解：设数列公差为（），

由可得，则，

则，则可得，

所以.

故答案为：0.

11．【答案】6.

【解析】∵在等差数列中，， ．
解得 ．
故答案为6．

12．【答案】

【解析】分析：根据，取倒数整理得到，再利用等差数列的定义求解.

详解：因为数列首项，且，

所以，

所以数列是以1为首项，以2为公比的等差数列，

所以，

则，

故答案为：

13．【答案】174

【解析】分析：先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可.

详解：因为，，所以，即.

又①，

则②，

由②-①，得，

所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以-2为首项，2为公差的等差数列，所以，，

所以，，

所以.

故答案为：174.

14．【答案】①②④

【解析】分析：求出的范围由得，可判断①；

由．，得，则，可判断②；

由得，可判断③；

若，得，讨论．可判断④.

详解：等差数列的前项和为，若，公差，有以下结论：

①若，，即，

，正确；

②若得，且，得，

则

，

因为，所以，得，所以正确；

③若，则，得，

因为，所以，，

，

则大小不确定，错误；

④若，得，，

若，则，则，则，

若，，

则，则，则，

综上，正确；

故答案为：①②④.

15．【答案】

【解析】分析：利用等差数列的通项公式得到，再根据等差数列的求和公式可解得结果.

详解：设等差数列{an}的公差为，

则，即，

所以.

故答案为：.

16．【答案】5

【解析】分析：若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.

详解：若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，

故为正整数，关于d单减，

则当时，，当时，，不符；

故的最小值为5，

故答案为：5

17．【答案】1

【解析】分析：直接利用基本量代换建立方程，解出d.

详解：因为是公差为的等差数列，所以.

可化为：

即，解得：d=1.

故答案为：1.

18．【答案】

【解析】分析：设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即.

详解：解：设等差数列的公差为，且，则，

∴，

∴，

∵为等差数列，∴，(且为公差)

∴，

∴，∵，∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的概念，累加法求通项公式，考查运算求解能力，是中档题.本题的关键在于根据已知条件，设出对应的公差，利用累加法求得，再结合为等差数列求解即可.