2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共44页。试卷主要包含了 =_____．， 观察下列图形， 下列计算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一,填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
1. =_____．
2. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
3. 当x_______时，分式的值为零．
4. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．
5. 已知是完全平方式，则_________．
6. 观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点．
二、选一选（本大题共8小题，每小题4分，共32分）．
7. 在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，4cm B. 4cm，6cm，8cm C. 5cm，6cm，12cm D. 2cm，3cm，5cm
9. 如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使，则没有能添加的一组条件是（ ）

A. AC=DE，∠C=∠E B. BD=AB，AC=DE
C AB=DB，∠A=∠D D. ∠C=∠E，∠A=∠D
10. 下列计算中，正确的是（　　）
A. x3•x2＝x4 B. （x+y）（x﹣y）＝x2+y2 C. （x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D. 3x3y2÷xy2＝3x4
11. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A. 3x+2x﹣1=5x﹣1 B. （3a+2b）（3a﹣2b）=9a2﹣4b2
C. x2+x=x2（1+） D. 2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y）
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD等于（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13. 如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K使K和B在AC两侧；
所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（　　）

A. ①②③④ B. ④③①② C. ②④③① D. ④③②①
14. 如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为( )


A. m＋n B. 2m＋n C. m＋2n D. 2m -n
三、解 答 题：（本大题共9小题，共70分）
15. 计算
16. 解方程.
17. 先化简()÷,然后在-1、1、4中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18. 已知：如图，点C和点D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F．
求证：BC=DE．

19. 如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．


20. 如图，已知∠ABC=90°, D是直线AB上的点，AD=BC ，过点A作AF⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC、DF、CF ，判断△CDF的形状并证明.

21. 列方程或方程组解应用题：
某中学为迎接校运会，筹集7000元购买了甲、乙两种品牌篮球共30个，其中购买甲品牌篮球花费3000元，已知甲品牌篮球比乙品牌篮球的单价高50%，求乙品牌篮球的单价及个数．
22. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），
C（3，4）
⑴ 作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出 三个顶点坐标为：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
⑵ 在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
⑶ 在 y 轴上是否存在点 Q，使得S△AOQ=S△ABC，如果存在，求出点 Q 的坐标，如果没有存在，说明理由．

23. 已知：△ABC是等边三角形．
（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．































2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）
一,填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
1. =_____．
【正确答案】1

【详解】=12018=1，
故答案为1.
2. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【正确答案】8

【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故8．
3. 当x_______时，分式的值为零．
【正确答案】= 3

【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零列式计算即可．
【详解】解：根据题意，
∵分式值为零，
∴，
∴；
故．
本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零是解题的关键．
4. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．
【正确答案】22

【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉没有合条件的，然后可求周长.
【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：没有满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．
故填22．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
5. 已知是完全平方式，则_________．
【正确答案】

【分析】根据完全平方式的形式，可得答案．
【详解】∵x2+mx+9是完全平方式，
∴m=，
故答案为．
本题考查了完全平方式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
6. 观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点．
【正确答案】135

【详解】试题分析：仔细观察图形：个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
…
第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；
当n=9时，=135个点，
故答案为135．
考点：规律型：图形的变化类
二、选一选（本大题共8小题，每小题4分，共32分）．
7. 在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，本选项没有符合题意；
B、是对称图形，没有是轴对称图形，本选项没有符合题意；
C、是轴对称图形也是对称图形，本选项符合题意；
D、轴对称图形，没有是对称图形，本选项没有符合题意.
故选：C.
本题考查了轴对称图形和对称图形的定义，属于基础题型，熟练掌握轴对称图形和对称图形的概念是判断的关键.
8. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，4cm B. 4cm，6cm，8cm C. 5cm，6cm，12cm D. 2cm，3cm，5cm
【正确答案】B

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，没有能组成三角形；
B、4+6＞8，能组成三角形；
C、5+6＜12，没有能够组成三角形；
D、2+3=5，没有能组成三角形．
故选：B．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
9. 如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使，则没有能添加的一组条件是（ ）

A. AC=DE，∠C=∠E B. BD=AB，AC=DE
C. AB=DB，∠A=∠D D. ∠C=∠E，∠A=∠D
【正确答案】C

【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【详解】A. 已知BC=BE,再加上条件AC=DE,∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项没有合题意；
B. 已知BC=BE,再加上条件BD=AB,AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项没有合题意；
C. 已知BC=BE,再加上条件AB=DB,∠A=∠D没有能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意；
D. 已知BC=BE再加上条件∠C=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项没有合题意；
故选C.
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
10. 下列计算中，正确的是（　　）
A. x3•x2＝x4 B. （x+y）（x﹣y）＝x2+y2 C. （x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D. 3x3y2÷xy2＝3x4
【正确答案】C

【分析】分别根据同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式和单项式除以单项式的法则计算可得．
【详解】A、x3•x2=x5，此选项错误；
B、（x+y）（x-y）=x2-y2，此选项错误；
C、（x-3）2=x2-6x+9，此选项正确；
D、3x3y2÷xy2=3x2，此选项错误；
故选C．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式和单项式除以单项式的法则．
11. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A. 3x+2x﹣1=5x﹣1 B. （3a+2b）（3a﹣2b）=9a2﹣4b2
C. x2+x=x2（1+） D. 2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y）
【正确答案】D

【详解】A. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B. 是整式的乘法，故B错误；
C. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D.
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD等于（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B

【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴BD=AD，
∵AD=8，
∴BD=8，
∴CD=BD=4.
故选：B.
13. 如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K使K和B在AC两侧；
所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（　　）

A. ①②③④ B. ④③①② C. ②④③① D. ④③②①
【正确答案】B

【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【详解】用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，做法如下：
④取一点K使K和B在AC的两侧；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
①分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
故选B．
考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
14. 如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为( )


A. m＋n B. 2m＋n C. m＋2n D. 2m -n
【正确答案】A

【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∠A=40°，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABC=40°+30°=70°,∠C=180°−40°−40°−30°=70°，
∴∠ABC=∠C，
∴AC=AB=m，
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，
故答案为m+n.
点睛：本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质的应用.注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
三、解 答 题：（本大题共9小题，共70分）
15 计算
【正确答案】

【详解】、
试题分析：多项式的混合运算，先算乘方，再算乘除，合并即可.
试题解析：原式==.
16. 解方程.
【正确答案】x=1.

【分析】先将分式方程去分母化为一元方程，再解方程后检验是否为增根即可解题.
【详解】方程两边都乘(2x-3)，得
x-5=4(2x-3)，
解得x=1.
检验：当x=1时，2x-3≠0.
∴原方程的根是x=1.
本题考查了解分式方程，解本题的关键是注意符号问题以及增根问题.
17. 先化简()÷,然后在-1、1、4中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【正确答案】

【详解】试题解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x的值代入进行计算即可．
解：原式=，
∵x≠0，x≠1，
∴当x=4时，.
18. 已知：如图，点C和点D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F．
求证：BC=DE．

【正确答案】证明见解析

【分析】先由平行线得出∠B=∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．
【详解】证明：∵AB∥DE
∴∠B=∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC=DE．
考点：全等三角形的判定与性质．
19. 如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．


【正确答案】

【分析】根据三角形内角和求出∠BAC的度数，根据角平分线求出∠BAD的度数，根据外角的性质求出∠ADE的度数，根据三角形内角和求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（已知)，
∴∠BAC=180°―38°―100°=42°（三角形内角和180°)
又∵AD平分∠BAC（已知)，
∴∠BAD=21°
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质)，
又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°
∴∠DAE=90°―59°=31°
本题考查了三角形内角和定理以及外角的性质，角平分线的定理，解题的关键是掌握相应的定理．
20. 如图，已知∠ABC=90°, D是直线AB上的点，AD=BC ，过点A作AF⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC、DF、CF ，判断△CDF的形状并证明.

【正确答案】△是等腰直角三角形，证明见解析

【详解】试题分析：由“ASA”证明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形.
试题解析：△是等腰直角三角形，
证明如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形.
21. 列方程或方程组解应用题：
某中学为迎接校运会，筹集7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，其中购买甲品牌篮球花费3000元，已知甲品牌篮球比乙品牌篮球的单价高50%，求乙品牌篮球的单价及个数．
【正确答案】乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个.

【详解】试题分析：设乙品牌篮球的单价为x元/个，则甲品牌篮球的单价为1.5x元/个，根据相等关系：7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，即可得出关于x的分式方程，求解即可．
试题解析：解：设乙品牌篮球的单价为x元，则甲品牌篮球的单价为1.5x元/个，根据题意得：

解得：x=200．
经检验：x=200是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），
C（3，4）
⑴ 作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出 三个顶点的坐标为：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
⑵ 在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
⑶ 在 y 轴上是否存在点 Q，使得S△AOQ=S△ABC，如果存在，求出点 Q 的坐标，如果没有存在，说明理由．

【正确答案】⑴ A1（-1，1），B1（-4，2），C1（-3，4）；（2）P坐标为（2，0）；（3）Q（0，）或（0，）

【详解】试题分析：（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点的位置，然后顺次连接即可得到△A1B1C1；
（2），找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P，从而得到点P的坐标；
（3）作AD⊥y轴于D，设Q点坐标为（0，y），则 OQ＝｜y｜，AD＝1，根据三角形的面积求出S△ABC，再由S△AOQ=S△ABC解y值即可得到点Q坐标.
试题解析：（1）△A1B1C1如图所示，A1（-1，1），B1（-4，2），C1（-3，4）；

（2）如图1，找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P，点P坐标为（2，0）；

（3）设存在点 Q，使得S△AOQ=S△ABC，如图2，作AD⊥y轴于D，设Q点坐标为（0，y），则 OQ＝｜y｜，AD＝1，

S△ABC＝＝，
由题意，S△AOQ=S△ABC，得 ，
或，
∴ Q点坐标为（0，）或（0，）.
23. 已知：△ABC是等边三角形．
（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．

【正确答案】（1）BF=CF；理由见解析；（2）40°或20°

【详解】试题分析：（1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE，由等角对等边即可得出BF=CF．
（2）设∠BCD=∠CBE=x，则∠DBF=60°-x，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB>∠A，证出∠FBD<60°，得出FD=FB的情况没有存在；②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出结果；③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．
试题解析：（1）BF=CF；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCD和△CBE中，，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠BCD=∠CBE，
∴BF=CF．
（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，
设∠BCD=∠CBE=x，
∴∠DBF=60°﹣x，
若△BFD是等腰三角形，分三种情况：
①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，
∴∠FBD=∠FDB＞60°，
但∠FBD＞∠ABC，
∴∠FBD＜60°，
∴FD=FB的情况没有存在；
②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，
∴60°﹣x=2x，
解得：x=20°，
∴∠FBD=40°；
③若BD=BF，如图所示：

则∠BDF=∠BFD=2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°﹣x+2x+2x=180°，
解得：x=40°，
∴∠FBD=20°；
综上所述：∠FBD的度数是40°或20°.
点睛：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，对等腰三角形的边分情况讨论是解此题的关键.






























2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A. 56×10﹣1 B. 5.6×10﹣2 C. 5.6×10﹣3 D. 0.56×10﹣1
2. 江永女书诞生于宋朝，是世界上一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列式子为最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
4. 若分式的值为0，则的值等于（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. -3
5. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
6. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ）

A. 2 B. C. 4 D.
7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
8. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）

A B.
C. D.
9. 如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A. AE＝EC B. AE＝BE C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
10. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
二、填 空 题：（本题共16分，每小题2分）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
12. 在平面直角坐标系中，点（2，1）关于y轴对称的点的坐标是_____．
13. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△DEF．


14. 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．
15. 如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．


16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为_____．

17. 如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_____．
18. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：

小红作法如下：

老师说：“小红的作确．”
请回答：小红的作图依据是_________________________．
三、解 答 题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19. 计算：
20. 因式分解：（1） （2）
21. 如图，点E、F在线段AB上，且AD＝BC，∠A＝∠B,AE＝BF.
求证：DF＝CE.

22. 已知，求的值
23. 解分式方程.
24. 先化简，再求值： ．
列分式方程解应用题：
25. 列分式方程解应用题：北京条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量．
26. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．

（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
27. 定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”.
(1)若直接写出“如意数”；
(2)如果,求的“如意数”，并证明“如意数” ；
（3）已知，且的“如意数”，则_______________________(用含的式子表示)
28. 如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．


























2022-2023学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A. 5.6×10﹣1 B. 5.6×10﹣2 C. 5.6×10﹣3 D. 0.56×10﹣1
【正确答案】B

【详解】0.056用科学记数法表示为：0.056=，
故选B
2. 江永女书诞生于宋朝，是世界上一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：选项A是轴对称图形，
选项B、C、D都没有是轴对称图形，
故选A.
3. 下列式子为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】选项A， = ；选项B， = ；选项C， 是最简二次根式；选项D， =．故选C.
4. 若分式的值为0，则的值等于（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. -3
【正确答案】B

【详解】分式的值为0，分子为0分母没有为0，由此可得x-2=0且x+3≠0，解得x=2，故选B.
5. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】选项A， 选项B， ，错误；选项C， ，错误；选项D， ，错误.故选A.
6. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ）

A. 2 B. C. 4 D.
【正确答案】C

【详解】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴BD=2BE=2，
∵D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
故选：C．
7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【正确答案】D

【详解】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选D．

8. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】长方形ABCD的面积的两种表示方法可得，
故选D.
9. 如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A. AE＝EC B. AE＝BE C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
【正确答案】C

【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
，
故选：C．
本题考查了等腰三角形性质，解题的关键是掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度没有大．
10. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
【正确答案】B

【分析】根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，∠OPM=∠ODM=50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
【详解】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．

∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点．
二、填 空 题：（本题共16分，每小题2分）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【正确答案】

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12. 在平面直角坐标系中，点（2，1）关于y轴对称的点的坐标是_____．
【正确答案】（-2，1）

【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得点（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（-2，1）.
13. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△DEF．


【正确答案】∠A=∠D(答案没有)

【详解】添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
14. 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．
【正确答案】18或21

【详解】分两种情况：①当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21；②当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．
15. 如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．


【正确答案】70

【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，
∴∠BAD=∠EAC=40°，
∴∠B=（180°-40°）÷2=70°，
故70
本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为_____．

【正确答案】4cm##4厘米

【详解】解：∵BC=10cm，BD：DC=3:2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，
即点D到AB的距离等于4cm．
故4cm
17. 如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_____．
【正确答案】20

【详解】∵
∴
∵ab=8，
∴36-2ab=36-2×8=20.
本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.
18. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：

小红作法如下：

老师说：“小红的作确．”
请回答：小红的作图依据是_________________________．
【正确答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线.

【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
【详解】
如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，
∴直线CD就是线段AB垂直平分线.
故答案为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.
本题考查了作图—基本作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
三、解 答 题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19. 计算：
【正确答案】

【分析】根据值的性质、二次根式的乘法法则、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别计算各项后，再化简合并即可．
【详解】解：原式=，
，
．
本题考查了实数的运算，二次根式的运算，负整指数幂和零指数幂，掌握这些运算的法则是解题的关键.
20. 因式分解：（1） （2）
【正确答案】（1）
（2）

【详解】试题分析：（1）直接利用平方差公式因式分解即可；（2）提公因式a后再利用完全平方公式因式分解即可.
试题解析：
（1）;
（2）
21. 如图，点E、F在线段AB上，且AD＝BC，∠A＝∠B,AE＝BF.
求证：DF＝CE.

【正确答案】证明见解析

【详解】试题分析：由AE＝BF可证得AF＝BE，已知条件利用SAS证明△ADF≌△BCE ，根据全等三角形的对应边相等的性质即可得结论.
试题解析：
证明：∵点E，F在线段AB上，AE＝BF.
∴AE+EF＝BF+EF，
即：AF＝BE．
在△ADF与△BCE中，

∴△ADF≌△BCE(SAS)
∴ DF=CE（全等三角形对应边相等）
22. 已知，求的值
【正确答案】5

【分析】根据完全平方公式、单项式乘以单项式的乘法法则、平方差公式把所给的整式展开，合并同类项化为最简后，再代入求值即可.
【详解】解：原式=
当
原式=2+3=5，
所以原式的值为5.
本题考查了完全平方公式和整式的混合运算，涉及到了整体代入的思想方法，解题的关键是正确化简题中代数式．
23. 解分式方程.
【正确答案】无解

【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
没有是原方程的解，即原方程无解.
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24. 先化简，再求值： ．
【正确答案】

【分析】先把括号内的式子进行通分，然后把把除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式后代入求值即可．
【详解】解：，

＝
＝
当时，
原式.
列分式方程解应用题：
25. 列分式方程解应用题：北京条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量．
【正确答案】24万人．

【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，根据等量关系“2002年客运240万人所用的时间－30=2017年客运240万人所用的时间”列出方程，解方程即可．
【详解】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，
由题意得,

解得x＝6
经检验x＝6是分式方程的解

答：2017年每小时客运量24万人．
26. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．

（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）△ADN是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】（1）已知AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD=，再由AM平分∠EAC，根据角平分线的定义可得∠EAM=∠MAC=，根据平角的定义可得∠MAD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AM∥BC；
（2）由（1）可得△ADN是直角三角形，因AM∥AD，由平行线的性质得∠AND=∠NDC，再由DN平分∠ADC，根据角平分线的定义和等量代换可得∠ADN=∠NDC=∠AND，根据等腰三角形的判定定理可得AD=AN，结论得证.
【详解】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=．
∵AM平分∠EAC，
∴∠EAM=∠MAC=．
∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==.
∵AD⊥BC,
∴ ,
∴∠MAD+,
∴AM∥BC.
（2）△ADN是等腰直角三角形,
理由是：∵AM∥AD,
∴∠AND=∠NDC，
∵DN平分∠ADC，
∴∠ADN=∠NDC=∠AND.
∴AD=AN．
∴△ADN是等腰直角三角形．
27. 定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”.
(1)若直接写出的“如意数”；
(2)如果,求的“如意数”，并证明“如意数” ；
（3）已知，且的“如意数”，则_______________________(用含的式子表示)
【正确答案】（1） ；（2），证明见解析；(3).

【详解】试题分析：（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c=；（2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小；（3）根据题目中所给的运算规则可得，整理得，即可得b+1=x+3，解得b=x+2.
试题解析：
（1）
（2）∵a=m-4,b=-m, ∴c=(m-4) ×(-m)+(m-4)+(-m)= , ∴c= , ∴c≤0

点睛：本题考查的是新定义运算，解决这类问题的基本思路是根据题目中所给的运算规则进行计算，计算时要注意题目中的变式题.
28. 如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

【正确答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE＝BE．

【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；
（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．
【详解】(1)如图：

（2）在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD
∴∠ABD＝∠D
∵∠PAC＝20°
∴∠PAD＝20°
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°
.
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°
（3）CE ＋AE＝BE．
在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，

在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
设∠EAC＝∠DAE＝x．
∵AD ＝AC＝AB，
∴
∴∠AEB＝60－x＋x ＝60°．
∴△AME为等边三角形．
∴AM=AE，∠MAE=60°，
∴∠BAC=∠MAE=60°，
即可得∠BAM=∠CAE.
在△AMB和△AEC中，
，
∴△AMB≌△AEC.
∴CE＝BM.
∴CE ＋AE＝BE．
本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE上，再证明CE＝BM即可得结论．