高中北师大版 (2019)3.1 等比数列的概念及其通项公式练习题

【精挑】3.1 等比数列练习

一．填空题

1．已知数列满足，则的前6项和为___________.

2．将正偶数集合中的数从小到大按第组有个数进行分组如下：第1组，第2组，第3组则2018位于第______组.

3．设各项为正的等比数列的首项为1，且，，成等差数列，则_______.

4．已知等比数列的各项均为正数，且，则___________.

5．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.

6．在等比数列中，，，且，，则___________.

7．已知数列的前项和为，数列满足，则数列的前项和为___________.

8．数列中，，其前项和满足，则的通项公式为___________.

9．设为等比数列的前项和，且，，则______.

10．已知等差数列的前项和为，，，成等比数列，且，则___________．

11．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则未知数是_____________.

12．已知数列的前项和为，且满足，则___________.

13．国家男子足球队某运动员一脚把球开到32米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半落下，则第4次着地时，该球所经过的总路程为________米；则第5次着地时，该球所经过的总路程为________米．

14．记为等比数列的前项和，公比为，满足，则数列的通项公式为_________．

15．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯．

16．数列的前项和为，且，，则______．

17．已知数列的前项和为，若，，，则______．

18．已知等比数列的前项和为，，，则公比___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.

详解：因为，所以，

因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以的前6项和为.

故答案为：.

2．【答案】9

【解析】分析：由题意可得前组共有个数，…，2018为第1009个偶数，而，，从而可得2018位于第9组

详解：前组共有（个）数，

由得，

∴2018为第1009个偶数.

∵，，

∴前8组共有510个数，前9组共有1022个数，

∴2018位于第9组.

故答案为：9

3．【答案】

【解析】分析：由题意得到，结合已知条件求出，进而可求得通项公式.

详解：设的公比为q，则，即，（舍去）或所以.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：根据对数的运算性质，结合等比数列下标的性质进行求解即可.

详解：解析：因为等比数列的各项均为正数，且，

所以

，

故答案为：

5．【答案】2

【解析】分析：由已知递推式，结合与的关系及等比数列的定义，可判断是公比为的正项等比数列，写出．，根据题设不等式恒成立可得恒成立，即可求值.

详解：由题设知：当时，，即，

当时，，

综上知：是公比为的正项等比数列，即，而，

∴由题设知：对任意的，有成立，又，

∴，整理得：恒成立，而时，

∴.

故答案为：2.

【点睛】

关键点点睛：由与的关系及等比数列的定义求．，根据数列不等式恒成立求值即可.

6．【答案】

【解析】分析：本题首先可根据得出，然后与联立，解得．，最后通过即可得出结果.

详解：因为数列是等比数列，，所以，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得，进而得到，由等差数列求和公式可求得结果.

详解：，，，

整理可得：，又，解得：，

数列是以为首项，为公比的等比数列，；

，，是以为首项，为公差的等差数列，

数列的前项和为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列前项和的求解问题，解题关键是能够利用与关系证得数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得.

8．【答案】

【解析】分析：由，得出数列是首项为1，公比为3的等比数列，求得，再利用和的关系式，即可求解.

详解：由题意，数列中，前项和满足，

因为，可得，则，

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，

当时，，

当时，，不适合上式，

故，

故答案为：.

9．【答案】40

【解析】分析：根据等比数列的求和公式列方程计算即可求解.

详解：设数列公比为，显然，

则且，

故，则，故，

所以.

故答案为：40

10．【答案】2或5

【解析】分析：由已知得，再由，，成等比数列得可得答案.

详解：，∴，，，成等比数列，则，

即，解得或，故或5.

故答案为：2或5.

11．【答案】3或27

【解析】试题分析：由等差数列和等比数列概念设未知数为x,中间数为y,则得解得或27.

12．【答案】

【解析】分析：令求出的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的值.

详解：当时，则有，可得；

当时，由可得，

上述两式作差得，所以，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：已知与的关系求的步骤：

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）对时的情况进行检验，若适合的通项，则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.

13．【答案】88    92 

【解析】分析：根据题目条件，确定球反弹的高度构成一等比数列，再根据实际情况确定所求路程.

详解：由题设，球反弹的高度构成一公比为的等比数列，且首项为32米，

记该数列为，则

故第4次着地时，该球所经过的总路程为

米.

第5次着地时，该球所经过的总路程为

米.

故答案为：①；②.

14．【答案】

【解析】分析：先利用时求得再化简已知式为，通过时，利用等比数列通项公式计算，即得结果.

详解：当时，所以，即，而，所以

由，

得，而，

所以

故当时，即，而，

所以.因为，所以，

故.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于通过已知式得到，再结合等比数列公式即突破难点.

15．【答案】3

【解析】分析：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，由等比数列的基本量运算可得．

详解：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，

，底层灯盏数为，则，所以，解得．

故答案为：3.

16．【答案】

【解析】分析：先由消去，得到数列从二项开始是公比为2的等比数列，利用等比数列求和.

详解：解：由可得：，所以，

则，即，

所以数列从二项开始是公比为2的等比数列，且，所以，

则数列，，…，是首项为1，公比为4的等比数列，

则.

故答案为：．

【点睛】

（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；

（2）数列求和常用方法：

①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．

17．【答案】

【解析】分析：由得，从而可得数列是等比数列，求得通项后，结合和与项的关系可得．

详解：解：数列的前项和为，若，，，

整理得，

故，

由于，

所以，

故，①，

整理得，

故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

故（首项符合通项），

所以：．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列的通项与和的关系，解题关键是是得出后，把化为，从而得出数列的递推关系，得其为等比数列，易于求解．在与的相互转化中注意相互性，主要看怎样转化得解题．

18．【答案】1或

【解析】分析：先根据，，得到，再由求解.

详解：在等比数列中，，，

所以，

所以，即，

解得或.

故答案为：1或.