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2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共45页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）
1. 在平面直角坐标系中，点P（1，1）位于（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5 cm，3 cm，1 cm B. 2 cm，5 cm，8 cm
C. 1 cm，3 cm，4 cm D. 1.5 cm，2 cm，2.5 cm
3. 下列交通标志是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4. 如图，直线OA是某正比例函数图象，下列各点在该函数图象上的是( )
A. (－4，16) B. (3，6) C. (－1，－1) D. (4，6)
5. 如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A. 67.5° B. 52.5° C. 45° D. 75°
6. 已知P1(-3，y1)，P2(2，y2)是函数y=2x-b的图象上的两个点，则y1,y2的大小关系是（ ）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 没有能确定
7. 如图，在ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，如果ABD的周长为10 cm，BE=3 cm，则ABC的周长为（ ）
A. 9 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 18 cm
8. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
9. 如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，没有能添加的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，
BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的自变量x取值范围是__________
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是________________________________ ，这是一个_______（填真或假）命题．
13. 如图，在中，＝，＝，是边上高，是的平分线，则的度数_____°．
14. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
16. 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点坐标分别为A（−3，5），B（−4，3），
C（−1，1）.
（1）画出ABC关于x轴对称A1B1C1；并填写出A1B1C三个顶点的坐标.
A1 （_________，_________）；
B1 （_________，________）；
C1 （_________，_________）.
（2）求ABC的面积.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知函数y=kx+3的图象点（1，4），试求出关于x的没有等式kx+3≤6的解集．
18. 如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：OP是AB的垂直平分线．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
20. 如图，是线段的中点，平分，平分，．
(1)求证：≌；
(2)若=50°，求的度数．
六、（本题满分12分）
21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
七、（本题满分12分）
22. 元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
1600
1000
售价（元/台）
2300
1800
1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场完这批家电后获得的利润？利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（没有与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）
1. 在平面直角坐标系中，点P（1，1）位于（ ）
A 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A
【详解】解：∵点P（1，1）的横坐标为正数，纵坐标为正数，
∴点P（1，1）在象限.
故选：A.
四个象限符号特点分别是：象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5 cm，3 cm，1 cm B. 2 cm，5 cm，8 cm
C. 1 cm，3 cm，4 cm D. 1.5 cm，2 cm，2.5 cm
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、1+3<5，故本选项错误．
B、2+5＜8，故本选项错误．
C、1+3=4，故本选项错误．
D、1.5+2＞2.5，故本选项正确．
故选D．
3. 下列交通标志是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【详解】解:根据题意，只有选项A符合．
故选：A．
4. 如图，直线OA是某正比例函数的图象，下列各点在该函数图象上的是( )
A. (－4，16) B. (3，6) C. (－1，－1) D. (4，6)
【正确答案】B
【详解】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵函数图象过点（2，4），
∴4=2k，解得k=2，
∴此函数的解析式为y=2x，
A、∵当x=-4时，y=2×（-4）=-8≠16，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误；
B、∵当x=3时，y=2×3=6，∴此点在该函数的图象上，故本选项正确；
C、∵当x=-1时，y=2×（-1）=-2≠-1，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误；
D、∵当x=4时，y=2×4=8≠6，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误．
故选B．
5. 如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A. 67.5° B. 52.5° C. 45° D. 75°
【正确答案】A
【分析】根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DBE=75°﹣30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．
故选A．
题目主要考查等腰三角形的定义及利用等边对等角求角度，理解题意，找准相等的边是解题关键．
6. 已知P1(-3，y1)，P2(2，y2)是函数y=2x-b的图象上的两个点，则y1,y2的大小关系是（ ）
A y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵P1（-3，y1），P2（2，y2）是函数y=2x-b的图象上的两个点，
∴y1=-6-b，y2=4-b，
∵-6-b<4-b，
∴y1
7. 如图，在ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，如果ABD的周长为10 cm，BE=3 cm，则ABC的周长为（ ）
A. 9 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 18 cm
【正确答案】C
【详解】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，BE=EC=3㎝，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=10cm，BC=6㎝，∴△ABC的周长为： AB+AC+BC=16cm．故选C．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
【正确答案】C
【分析】根据图像，行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.
【详解】从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；
小明休息前爬山的平均速度为：（米/分），B正确；
小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；
小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：米/分，D正确．
故选：C．
考点：函数的图象、行程问题．
9. 如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，没有能添加的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】解：A．添加，可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
B．添加，可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
C．由有可得，；再加上可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
D．添加，后是，无法判定两个三角形全等，故本选项错误；
故选．
点睛：本题考查全等三角形的判定方法，要熟练掌握、、、、五种判定方法．
10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，
BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
【正确答案】B
【详解】在△BDG和△GDC中
∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等
∴S△BDG＝2S△GDC
∴S△GDC＝4.
同理S△GEC＝S△AGE＝3.
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15
∴S△ABC＝2S△BEC＝30.
故选B.
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的自变量x取值范围是__________
【正确答案】x≥-2且x≠1
【详解】试题分析：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母没有为零.则2x+40，x－1≠0，解得：x－2且x≠1.
考点：函数的自变量取值范围
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是________________________________ ，这是一个_______（填真或假）命题．
【正确答案】 ①. 相等的两个角是对顶角 ②. 假
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题是一个假命题．
故相等的两个角是对顶角，假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13. 如图，在中，＝，＝，是边上的高，是的平分线，则的度数_____°．
【正确答案】6
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求出∠EAC的度数，根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，即可求出∠DAE的度数.
【详解】∵在中，＝，＝，
∴＝＝＝，
∵是的平分线，
∴＝，
在直角中，＝＝＝，
∴＝＝＝．
故答案为6
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握定义及定理是解题关键.
14. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）
【正确答案】①②④
【详解】由图象，得
①600÷6=100（米/天），故①正确；
②（500-300）÷4=50（米/天），故②正确；
③由图象得甲队完成600米的时间是6天，
乙队完成600米的时间是：2+300÷50=8天，
∵8-6=2天，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故③错误；
④当x＝2天时，甲队完成200米，乙队完成300米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
当x=6天时，甲队完成600米，乙队完成500米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
故④正确.
故答案为①②④.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
【正确答案】(1)60°; (2)△ABC按边分属于没有等边三角形．按角分属于直角三角形．
【详解】试题分析：（1）根据三角形的内角和定理列方程组，直接求∠A、∠B、∠C的度数即可；
（2）根据三角形按边分类属于没有等边三角形，由于有一个直角，所以按角分类，属于直角三角形．
试题解析：（1）∵∠A+∠B=∠C,∠B=2∠A∴∠A+∠B=∠A+2∠A=3∠A=∠C
∴∠A＋∠B＋∠C=180° ∠A＋2∠A＋3∠A=180°
6∠A=180°∠A=30° ∴∠B=2∠A=60° ∠C=3∠A=90°
（2）△ABC按边分类 属于没有等边三角形；按角分类，属于直角三角形.
16. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（−3，5），B（−4，3），
C（−1，1）.
（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；并填写出A1B1C三个顶点的坐标.
A1 （_________，_________）；
B1 （_________，________）；
C1 （_________，_________）.
（2）求ABC的面积.
【正确答案】 ① （-3，-5） ②. （-4，-3） ③. （-1，-1）
【详解】试题分析：（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
试题解析：如图所示：
A1（-3，-5），B1（-4，-3），C1（-1，-1）
（2）ABC的面积=12-=12-1-3-4=4.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知函数y=kx+3的图象点（1，4），试求出关于x的没有等式kx+3≤6的解集．
【正确答案】x≤3
【详解】试题分析：首先利用待定系数法求得函数的解析式，即可得到没有等式，然后解没有等式即可求解．
试题解析：把（1，4）代入直线的解析式得：k+3=4，
解得：k=1．
则直线的解析式是：y=x+3，
解没有等式x+3≤6，
解得：x≤3．
18. 如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：OP是AB的垂直平分线．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：根据角平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的性质证明OA=OB；根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．
试题解析：证明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP．
∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°．
在△AOP和△BOP中，∵∠AOP=∠BOP，∠PAO=∠PBO，OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS），∴OA=OB，PA=PB，∴OP是AB的垂直平分线．
点睛：本题考查的是线段垂直平分线的判定和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等在线段垂直平分线上是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
【正确答案】40°
【详解】试题分析：先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，根据∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）进行计算即可．
试题解析：∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
=130°﹣90°
=40°
20.
如图，是线段的中点，平分，平分，．
(1)求证：≌；
(2)若=50°，求的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）70°．
【详解】解：(1)∵点是线段的中点，
∴，
又∵平分，平分，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3
在和中，
∴≌
(2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°
∴∠1=∠2=∠3=60°
∵≌
∴50°
∴．
六、（本题满分12分）
21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【详解】（1）证明：由于AB=AC，故△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，∠ADB=90°；
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ECB，
在Rt△AEF和Rt△CEB中
∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB，
所以△AEF≌△CEB（ASA）
（2）∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
故BD=CD，
即CB=2CD，
又∵△AEF≌△CEB，
∴AF=CB=2CD．
七、（本题满分12分）
22. 元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
1600
1000
售价（元/台）
2300
1800
1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x的代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场完这批家电后获得的利润？利润为多少元？
【正确答案】（1）﹣3x+100台；（2）26台；（3）23000元
【分析】（1）根据彩电台数+冰箱台数+洗衣机台数=100，即可用含x的代数式表示洗衣机的台数；
（2）根据总价=单价×数量，可列出关于x的一元没有等式，解没有等式即可得出x的取值范围，根据x为正整数即可得出结论；
（3）设该商场的利润为W，根据利润=单台利润×数量可列出W关于x的函数关系式，根据函数的性质（2）的结论即可解决最值问题．
【详解】（1）∵彩电台数是冰箱台数的2倍，该商场购买冰箱x台，
∴购买彩电的台数为2x台，
∵购买三类家电共100台，
∴购买洗衣机的台数为100﹣x﹣2x=﹣3x+100台．
（2）由已知得：
2000×2x+1600x+1000×（﹣3x+100）≤170000，
解得：x≤26．
∵x为正整数，
∴商场至多可以购买冰箱26台．
（3）设该商场的利润为W，根据已知得：
W=2x（2300-2000）+（1800-1600）x+（1100-1000）（-3x+100）=500x+10000．
∵k=500＞0，
故W关于x的函数在x的取值范围内单调递增，
∴当x=26时，W取值，W=500×26+10000=23000元．
答：购买冰箱26台时，能使商场完这批家电后获得的利润，利润，23000元．
八、（本题满分14分）
23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（没有与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【正确答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的有( )
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 若三角形的两边长分别为7和9，则第三边的长没有可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 在平面直角坐标系中，直线y＝x－1( )
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限
C. 、三、四象限 D. 第二、三、四象限
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
6. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1
7. 如图，函数和的图象相交于点A(m，3)，则没有等式的解集为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为( )
A. 3cm B. 4cm C. 1cm D. 2cm
9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线
是A→D→C→B→A,设P点的路程为x，以点A、P、D为顶点的三
角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 如图，△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠ADC＝________°，AD＝________cm.
12. 已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x之间的函数表达式为y＝20－2x，则自变量x的取值范围是__________．
13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
14. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水没有出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，没有进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有________(填序号)．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
16. 如图，格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后△A1B1C1，并写出顶点B1的坐标；
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 已知函数的图象如图所示．
(1)求此函数的表达式；
(2)若点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC度数．
20. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行，其进价和售价之间的关系如下表：
要使文具所获利润，且所获利润没有超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货，并求出其所获利润的值．
六、(本题满分12分)
21. 如图，在中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．
七、(本题满分12分)
22. 如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
八、(本题满分14分)
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；
(2)在满足问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(没有必证明)；
(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B
【详解】点P（-2，3）在第二象限，
故选B
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的有( )
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】【分析】根据轴对称图形的概念，在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；四个字中只有两个字符合要求.
【详解】四个汉字中，可以看作轴对称图形的是美和合.
故选B
本题考核知识点：轴对称图形. 解题关键点：根据轴对称图形的定义，逐个分析.
3. 若三角形的两边长分别为7和9，则第三边的长没有可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】D
【详解】【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围：2
9-7
故选D
本题考核知识点：三角形的边. 解题关键点：利用“三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边”得到第三边的取值范围.
4. 在平面直角坐标系中，直线y＝x－1( )
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限
C. 、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【正确答案】C
【详解】【分析】根据函数y=kx+b图象性质判断即可.即：k>0,、三象限；k<0,第二、四象限；b>0,交y轴正半轴；b<0,交y轴负半轴；
【详解】因为直线y＝x－1中，x的系数1>0,
所以，直线、三象限,
因为-1<0,所以，直线与y轴负半轴相交，
所以，直线y＝x－1、三、四象限.
故选C
本题考核知识点：函数的图形. 解题关键点：熟记函数y=kx+b图象的性质，分析k,b的正负即可.
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
【正确答案】D
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
D．添加AC=BD没有能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1
【正确答案】D
【详解】【分析】根据函数性质：中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由当x12时，y12，可推出1＋2m>0.
【详解】因为，A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x12时，y12，
所以，推出1＋2m>0，
所以，m>.
故选D.
本题考核知识点：函数性质. 解题关键点:判断函数中y随x如何变化，关键看k的符号.反之，从函数值的变化关系可以推出k的取值范围.
7. 如图，函数和的图象相交于点A(m，3)，则没有等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，图象写出没有等式2x≥ax+4的解集即可．
【详解】∵函数y=2x的图象过点A(m，3)，
∴将点A(m，3)代入y=2x得，2m=3，
解得，m=，
∴点A的坐标为(，3)，
∴由图可知，没有等式2xax+4的解集为．
故选B．
本题考查函数与一元没有等式的关系，由函数图象判断没有等式的解集是解题关键．
8. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为( )
A. 3cm B. 4cm C. 1cm D. 2cm
【正确答案】B
【分析】此题涉及的知识点是角平分线的性质，解题时先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△ADE，由此得出AD=AC，从而得出BD的长．
【详解】∵AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
AE＝AE CE＝DE，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AD=AC，
∵AB=7cm，AC=3cm，
∴BD=AB-AD=AB-AC=7-3=4cm．
故选B
此题考察学生对于角平分线性质的实际应用能力，证明两三角形全等是解题的关键．
9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线
是A→D→C→B→A,设P点的路程为x，以点A、P、D为顶点的三
角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据点和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高没有变所以面积y没有变，在BA段时面积y逐渐减小为0，
故选：B．
本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键．
10. 如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】【分析】根据等边三角形性质和PA＝PD.可得BP=CP=AP=DP，根据等边三角形的每一个角都是60°,可得∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，又∠APD=90°，所以利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠PBC=15°；再根据等腰直角三角形的性质可得∠PAD=45°，再根据同旁内角互补求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判断出PC与AB垂直．
【详解】∵△APB与△CDP是等边三角形，
∴PA=PB=AB，PD=DC=PC，∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，
∵PA＝PD.
∵PA=PB=AB=PD=DC=PC，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选D.
本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质;熟记各性质是解题的关键．
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 如图，△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠ADC＝________°，AD＝________cm.
【正确答案】 ①. 90 ②. 5
【详解】【分析】根据∠A=60°，∠B=30°可得∠AEB=90°，根据AB=10cm以及直角三角形的性质可得AE=5cm，根据三角形全等可得：AD=AE=5cm，∠ADC=∠AEB=90°.
【详解】在三角形ABE中，∠A=60°，∠B=30°
所以，∠AEB=180-∠A-∠B= 90°,
因为，AB=10cm
所以，AE==5cm，
因为，△ABE≌△ACD，
所以，AD=AE=5cm，∠ADC=∠AEB=90°.
故答案为(1). 90 (2). 5
本题考核知识点：全等三角形的性质. 解题关键点：熟记全等三角形的性质，证角相等和边相等.
12. 已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x之间的函数表达式为y＝20－2x，则自变量x的取值范围是__________．
【正确答案】5＜x＜10
【详解】【分析】根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可．即：2x>y,x-x
y=-2x+20，-2x+20>0，
∴x＜10，
∵两边之和大于第三边,即：2x>-2x+20
∴x＞5，
则x的取值范围是：5＜x＜10，
故答案为5＜x＜10，
考查了根据实际问题列函数解析式以及等腰三角形的性质和三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．
13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【正确答案】B
【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D
∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝
又∵∠B=30°，BE=2
∴∠ECD=30°，CE=2，DE==1
又∵CE平分∠ACB
∴∠ECD＝∠ACE＝30°
∴∠ACB＝60°
又∵在△ABC中，∠B=30°
∴∠BAC＝90°
在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°
∴AE＝＝1；
故选B．
14. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水没有出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，没有进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有________(填序号)．
【正确答案】①③④
【详解】【分析】根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．
【详解】①每分钟进水=5升，则命题正确；
②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则命题错误；
③每分钟放水5-=5-1.25=3.75(升)，
则放完水需要=8（分钟），故命题正确；
④同时打开进水管和放水管，需要时间：=24（分钟），命题正确．
故答案为①③④
本题考查了函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
【正确答案】50°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
考点：平行线的性质．
16. 如图，格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出顶点B1的坐标；
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
【正确答案】(1)△A1B1C1如图所示见解析， (0，－2)；(2)△A2B2C2如图所示见解析， (3，2)．
【详解】【分析】按要求画图，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得B1点的坐标．再根据关于y轴对称规律：纵坐标没有变，横坐标符号反，得B2坐标.
【详解】(1)△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(0，－2)．
(2)△A2B2C2如图所示，点B2的坐标为(3，2)．
故答案为(1)△A1B1C1如图所示见解析， (0，－2)；(2)△A2B2C2如图所示见解析， (3，2)．
此题主要考查了平移变换，画出出平移后图形，再找出对应点位置是解题关键．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 已知函数的图象如图所示．
(1)求此函数的表达式；
(2)若点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值．
【正确答案】(1) y＝－2x＋2；(2) a＝2.
【详解】【分析】（1）用待定系数法求解析式即可.(2)把点(a，－2)代入所求解析式，求解即可.
【详解】(1)设此函数的表达式为y＝kx＋b，
由图可得函数的图象(1，0)，(0，2)两点，
则，解得，
∴此函数的表达式为y＝－2x＋2.
(2)将(a，－2)代入y＝－2x＋2中，得－2＝－2a＋2，解得a＝2.
故答案为(1) y＝－2x＋2；(2) a＝2.
本题考核知识点：函数的解析式. 解题关键点：熟记待定系数法求函数解析式的一般步骤.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
【正确答案】2
【详解】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为2.
本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）1125°．
【分析】根据同角的余角相等可得到条件，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
【详解】证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
20. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行，其进价和售价之间的关系如下表：
要使文具所获利润，且所获利润没有超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货，并求出其所获利润的值．
【正确答案】当A、B两种型号的文具各购进50只时，可获得利润，利润为500元．
【详解】【分析】设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出函数y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝－6x＋800.根据解析式解答即可．
【详解】设购进A型文具x只，则购进B型文具(100－x)只，所获利润为y元．
y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝－6x＋800.
由题意得－6x＋800≤40%[10x＋15(100－x)]，
解得x≥50.
∵y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y，
y＝－6×50＋800＝500.
故当A、B两种型号的文具各购进50只时，可获得利润，利润为500元．
本题考核知识点：函数的应用. 解题关键点：根据题意用x,y表示函数关系，根据函数的性质分析y与x的数量关系.
六、(本题满分12分)
21. 如图，在中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．
【正确答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）证可得；
（2）根据全等得到，再根据三角形三边关系即可得到结果．
【详解】（1）∵BG∥AC，
∴，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，
，
∴，
∴；
（2），
由得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确分析求解．
七、(本题满分12分)
22. 如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【正确答案】(1)见解析；(2) 点O在∠BAC的平分线上，理由见解析.
【详解】【分析】(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再证∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD，则∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分线性质定理可证得.
【详解】(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC.
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由如下：连接AO.由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD.
∵OB＝OC，∴OE＝OD.
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
本题考核知识点等边三角形判定，角平分线. 解题关键点：证三角形全等得到对应边相等，从而得到等腰三角形，再证三角形是等边三角形；利用角平分线的性质定理推出必要条件.
八、(本题满分14分)
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；
(2)在满足问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(没有必证明)；
(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．
【正确答案】（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明见解析；（2）有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，证明见解析.
【详解】试题分析:(1)因为当△BED和△CFD时,DE=DF,所以当点D在BC中点时,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性质可得DE=DF,
(2)在(1)的结论下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,
利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3对全等三角形.
(3)连接AD,根据三角形面积公式即可求证.
（1）当点D在BC的中点上时,DE=DF,
证明:∵D为BC中点,
∴BD=CD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∵在△BED和CFD中,
∴△BED≌△CFD（AAS）,
∴DE=DF．
（2）
有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,
（3）CG=DE+DF,
证明:连接AD,
因为,
所以,
因为AB=AC,
所以.
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）
1. 在平面直角坐标系中，点P（1，1）位于（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5 cm，3 cm，1 cm B. 2 cm，5 cm，8 cm
C. 1 cm，3 cm，4 cm D. 1.5 cm，2 cm，2.5 cm
3. 下列交通标志是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4. 如图，直线OA是某正比例函数图象，下列各点在该函数图象上的是( )
A. (－4，16) B. (3，6) C. (－1，－1) D. (4，6)
5. 如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A. 67.5° B. 52.5° C. 45° D. 75°
6. 已知P1(-3，y1)，P2(2，y2)是函数y=2x-b的图象上的两个点，则y1,y2的大小关系是（ ）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 没有能确定
7. 如图，在ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，如果ABD的周长为10 cm，BE=3 cm，则ABC的周长为（ ）
A. 9 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 18 cm
8. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
9. 如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，没有能添加的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，
BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的自变量x取值范围是__________
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是________________________________ ，这是一个_______（填真或假）命题．
13. 如图，在中，＝，＝，是边上高，是的平分线，则的度数_____°．
14. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
16. 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点坐标分别为A（−3，5），B（−4，3），
C（−1，1）.
（1）画出ABC关于x轴对称A1B1C1；并填写出A1B1C三个顶点的坐标.
A1 （_________，_________）；
B1 （_________，________）；
C1 （_________，_________）.
（2）求ABC的面积.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知函数y=kx+3的图象点（1，4），试求出关于x的没有等式kx+3≤6的解集．
18. 如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：OP是AB的垂直平分线．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
20. 如图，是线段的中点，平分，平分，．
(1)求证：≌；
(2)若=50°，求的度数．
六、（本题满分12分）
21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
七、（本题满分12分）
22. 元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
1600
1000
售价（元/台）
2300
1800
1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场完这批家电后获得的利润？利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（没有与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）
1. 在平面直角坐标系中，点P（1，1）位于（ ）
A 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A
【详解】解：∵点P（1，1）的横坐标为正数，纵坐标为正数，
∴点P（1，1）在象限.
故选：A.
四个象限符号特点分别是：象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5 cm，3 cm，1 cm B. 2 cm，5 cm，8 cm
C. 1 cm，3 cm，4 cm D. 1.5 cm，2 cm，2.5 cm
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、1+3<5，故本选项错误．
B、2+5＜8，故本选项错误．
C、1+3=4，故本选项错误．
D、1.5+2＞2.5，故本选项正确．
故选D．
3. 下列交通标志是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【详解】解:根据题意，只有选项A符合．
故选：A．
4. 如图，直线OA是某正比例函数的图象，下列各点在该函数图象上的是( )
A. (－4，16) B. (3，6) C. (－1，－1) D. (4，6)
【正确答案】B
【详解】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵函数图象过点（2，4），
∴4=2k，解得k=2，
∴此函数的解析式为y=2x，
A、∵当x=-4时，y=2×（-4）=-8≠16，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误；
B、∵当x=3时，y=2×3=6，∴此点在该函数的图象上，故本选项正确；
C、∵当x=-1时，y=2×（-1）=-2≠-1，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误；
D、∵当x=4时，y=2×4=8≠6，∴此点没有在该函数的图象上，故本选项错误．
故选B．
5. 如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A. 67.5° B. 52.5° C. 45° D. 75°
【正确答案】A
【分析】根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DBE=75°﹣30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．
故选A．
题目主要考查等腰三角形的定义及利用等边对等角求角度，理解题意，找准相等的边是解题关键．
6. 已知P1(-3，y1)，P2(2，y2)是函数y=2x-b的图象上的两个点，则y1,y2的大小关系是（ ）
A y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵P1（-3，y1），P2（2，y2）是函数y=2x-b的图象上的两个点，
∴y1=-6-b，y2=4-b，
∵-6-b<4-b，
∴y1
7. 如图，在ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，如果ABD的周长为10 cm，BE=3 cm，则ABC的周长为（ ）
A. 9 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 18 cm
【正确答案】C
【详解】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，BE=EC=3㎝，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=10cm，BC=6㎝，∴△ABC的周长为： AB+AC+BC=16cm．故选C．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
【正确答案】C
【分析】根据图像，行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.
【详解】从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；
小明休息前爬山的平均速度为：（米/分），B正确；
小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；
小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：米/分，D正确．
故选：C．
考点：函数的图象、行程问题．
9. 如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，没有能添加的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】解：A．添加，可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
B．添加，可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
C．由有可得，；再加上可用判定两个三角形全等，故本选项正确；
D．添加，后是，无法判定两个三角形全等，故本选项错误；
故选．
点睛：本题考查全等三角形的判定方法，要熟练掌握、、、、五种判定方法．
10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，
BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
【正确答案】B
【详解】在△BDG和△GDC中
∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等
∴S△BDG＝2S△GDC
∴S△GDC＝4.
同理S△GEC＝S△AGE＝3.
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15
∴S△ABC＝2S△BEC＝30.
故选B.
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数的自变量x取值范围是__________
【正确答案】x≥-2且x≠1
【详解】试题分析：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母没有为零.则2x+40，x－1≠0，解得：x－2且x≠1.
考点：函数的自变量取值范围
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是________________________________ ，这是一个_______（填真或假）命题．
【正确答案】 ①. 相等的两个角是对顶角 ②. 假
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题是一个假命题．
故相等的两个角是对顶角，假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13. 如图，在中，＝，＝，是边上的高，是的平分线，则的度数_____°．
【正确答案】6
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求出∠EAC的度数，根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，即可求出∠DAE的度数.
【详解】∵在中，＝，＝，
∴＝＝＝，
∵是的平分线，
∴＝，
在直角中，＝＝＝，
∴＝＝＝．
故答案为6
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握定义及定理是解题关键.
14. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）
【正确答案】①②④
【详解】由图象，得
①600÷6=100（米/天），故①正确；
②（500-300）÷4=50（米/天），故②正确；
③由图象得甲队完成600米的时间是6天，
乙队完成600米的时间是：2+300÷50=8天，
∵8-6=2天，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故③错误；
④当x＝2天时，甲队完成200米，乙队完成300米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
当x=6天时，甲队完成600米，乙队完成500米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
故④正确.
故答案为①②④.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
【正确答案】(1)60°; (2)△ABC按边分属于没有等边三角形．按角分属于直角三角形．
【详解】试题分析：（1）根据三角形的内角和定理列方程组，直接求∠A、∠B、∠C的度数即可；
（2）根据三角形按边分类属于没有等边三角形，由于有一个直角，所以按角分类，属于直角三角形．
试题解析：（1）∵∠A+∠B=∠C,∠B=2∠A∴∠A+∠B=∠A+2∠A=3∠A=∠C
∴∠A＋∠B＋∠C=180° ∠A＋2∠A＋3∠A=180°
6∠A=180°∠A=30° ∴∠B=2∠A=60° ∠C=3∠A=90°
（2）△ABC按边分类 属于没有等边三角形；按角分类，属于直角三角形.
16. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（−3，5），B（−4，3），
C（−1，1）.
（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；并填写出A1B1C三个顶点的坐标.
A1 （_________，_________）；
B1 （_________，________）；
C1 （_________，_________）.
（2）求ABC的面积.
【正确答案】 ① （-3，-5） ②. （-4，-3） ③. （-1，-1）
【详解】试题分析：（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
试题解析：如图所示：
A1（-3，-5），B1（-4，-3），C1（-1，-1）
（2）ABC的面积=12-=12-1-3-4=4.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知函数y=kx+3的图象点（1，4），试求出关于x的没有等式kx+3≤6的解集．
【正确答案】x≤3
【详解】试题分析：首先利用待定系数法求得函数的解析式，即可得到没有等式，然后解没有等式即可求解．
试题解析：把（1，4）代入直线的解析式得：k+3=4，
解得：k=1．
则直线的解析式是：y=x+3，
解没有等式x+3≤6，
解得：x≤3．
18. 如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：OP是AB的垂直平分线．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：根据角平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的性质证明OA=OB；根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．
试题解析：证明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP．
∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°．
在△AOP和△BOP中，∵∠AOP=∠BOP，∠PAO=∠PBO，OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS），∴OA=OB，PA=PB，∴OP是AB的垂直平分线．
点睛：本题考查的是线段垂直平分线的判定和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等在线段垂直平分线上是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．
【正确答案】40°
【详解】试题分析：先根据∠A=50°，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，再根据∠D=90°，可得∠DBC+∠DCB=90°，根据∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）进行计算即可．
试题解析：∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
=130°﹣90°
=40°
20.
如图，是线段的中点，平分，平分，．
(1)求证：≌；
(2)若=50°，求的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）70°．
【详解】解：(1)∵点是线段的中点，
∴，
又∵平分，平分，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3
在和中，
∴≌
(2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°
∴∠1=∠2=∠3=60°
∵≌
∴50°
∴．
六、（本题满分12分）
21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【详解】（1）证明：由于AB=AC，故△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，∠ADB=90°；
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ECB，
在Rt△AEF和Rt△CEB中
∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB，
所以△AEF≌△CEB（ASA）
（2）∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
故BD=CD，
即CB=2CD，
又∵△AEF≌△CEB，
∴AF=CB=2CD．
七、（本题满分12分）
22. 元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
1600
1000
售价（元/台）
2300
1800
1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x的代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场完这批家电后获得的利润？利润为多少元？
【正确答案】（1）﹣3x+100台；（2）26台；（3）23000元
【分析】（1）根据彩电台数+冰箱台数+洗衣机台数=100，即可用含x的代数式表示洗衣机的台数；
（2）根据总价=单价×数量，可列出关于x的一元没有等式，解没有等式即可得出x的取值范围，根据x为正整数即可得出结论；
（3）设该商场的利润为W，根据利润=单台利润×数量可列出W关于x的函数关系式，根据函数的性质（2）的结论即可解决最值问题．
【详解】（1）∵彩电台数是冰箱台数的2倍，该商场购买冰箱x台，
∴购买彩电的台数为2x台，
∵购买三类家电共100台，
∴购买洗衣机的台数为100﹣x﹣2x=﹣3x+100台．
（2）由已知得：
2000×2x+1600x+1000×（﹣3x+100）≤170000，
解得：x≤26．
∵x为正整数，
∴商场至多可以购买冰箱26台．
（3）设该商场的利润为W，根据已知得：
W=2x（2300-2000）+（1800-1600）x+（1100-1000）（-3x+100）=500x+10000．
∵k=500＞0，
故W关于x的函数在x的取值范围内单调递增，
∴当x=26时，W取值，W=500×26+10000=23000元．
答：购买冰箱26台时，能使商场完这批家电后获得的利润，利润，23000元．
八、（本题满分14分）
23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（没有与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【正确答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的有( )
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 若三角形的两边长分别为7和9，则第三边的长没有可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 在平面直角坐标系中，直线y＝x－1( )
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限
C. 、三、四象限 D. 第二、三、四象限
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
6. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1
7. 如图，函数和的图象相交于点A(m，3)，则没有等式的解集为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为( )
A. 3cm B. 4cm C. 1cm D. 2cm
9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线
是A→D→C→B→A,设P点的路程为x，以点A、P、D为顶点的三
角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 如图，△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠ADC＝________°，AD＝________cm.
12. 已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x之间的函数表达式为y＝20－2x，则自变量x的取值范围是__________．
13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
14. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水没有出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，没有进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有________(填序号)．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
16. 如图，格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后△A1B1C1，并写出顶点B1的坐标；
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 已知函数的图象如图所示．
(1)求此函数的表达式；
(2)若点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC度数．
20. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行，其进价和售价之间的关系如下表：
要使文具所获利润，且所获利润没有超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货，并求出其所获利润的值．
六、(本题满分12分)
21. 如图，在中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．
七、(本题满分12分)
22. 如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
八、(本题满分14分)
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；
(2)在满足问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(没有必证明)；
(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．
2022-2023学年安徽省合肥市八年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B
【详解】点P（-2，3）在第二象限，
故选B
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的有( )
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】【分析】根据轴对称图形的概念，在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；四个字中只有两个字符合要求.
【详解】四个汉字中，可以看作轴对称图形的是美和合.
故选B
本题考核知识点：轴对称图形. 解题关键点：根据轴对称图形的定义，逐个分析.
3. 若三角形的两边长分别为7和9，则第三边的长没有可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】D
【详解】【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围：2
9-7
故选D
本题考核知识点：三角形的边. 解题关键点：利用“三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边”得到第三边的取值范围.
4. 在平面直角坐标系中，直线y＝x－1( )
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限
C. 、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【正确答案】C
【详解】【分析】根据函数y=kx+b图象性质判断即可.即：k>0,、三象限；k<0,第二、四象限；b>0,交y轴正半轴；b<0,交y轴负半轴；
【详解】因为直线y＝x－1中，x的系数1>0,
所以，直线、三象限,
因为-1<0,所以，直线与y轴负半轴相交，
所以，直线y＝x－1、三、四象限.
故选C
本题考核知识点：函数的图形. 解题关键点：熟记函数y=kx+b图象的性质，分析k,b的正负即可.
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件没有能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
【正确答案】D
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项没有合题意；
D．添加AC=BD没有能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1
【正确答案】D
【详解】【分析】根据函数性质：中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由当x12时，y12，可推出1＋2m>0.
【详解】因为，A(x1，y1)和点B(x2，y2)在函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x12时，y12，
所以，推出1＋2m>0，
所以，m>.
故选D.
本题考核知识点：函数性质. 解题关键点:判断函数中y随x如何变化，关键看k的符号.反之，从函数值的变化关系可以推出k的取值范围.
7. 如图，函数和的图象相交于点A(m，3)，则没有等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，图象写出没有等式2x≥ax+4的解集即可．
【详解】∵函数y=2x的图象过点A(m，3)，
∴将点A(m，3)代入y=2x得，2m=3，
解得，m=，
∴点A的坐标为(，3)，
∴由图可知，没有等式2xax+4的解集为．
故选B．
本题考查函数与一元没有等式的关系，由函数图象判断没有等式的解集是解题关键．
8. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD的长为( )
A. 3cm B. 4cm C. 1cm D. 2cm
【正确答案】B
【分析】此题涉及的知识点是角平分线的性质，解题时先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△ADE，由此得出AD=AC，从而得出BD的长．
【详解】∵AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
AE＝AE CE＝DE，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AD=AC，
∵AB=7cm，AC=3cm，
∴BD=AB-AD=AB-AC=7-3=4cm．
故选B
此题考察学生对于角平分线性质的实际应用能力，证明两三角形全等是解题的关键．
9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线
是A→D→C→B→A,设P点的路程为x，以点A、P、D为顶点的三
角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据点和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高没有变所以面积y没有变，在BA段时面积y逐渐减小为0，
故选：B．
本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键．
10. 如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】【分析】根据等边三角形性质和PA＝PD.可得BP=CP=AP=DP，根据等边三角形的每一个角都是60°,可得∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，又∠APD=90°，所以利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠PBC=15°；再根据等腰直角三角形的性质可得∠PAD=45°，再根据同旁内角互补求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判断出PC与AB垂直．
【详解】∵△APB与△CDP是等边三角形，
∴PA=PB=AB，PD=DC=PC，∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，
∵PA＝PD.
∵PA=PB=AB=PD=DC=PC，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选D.
本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质;熟记各性质是解题的关键．
二、填 空 题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 如图，△ABE≌△ACD，AB＝10cm，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠ADC＝________°，AD＝________cm.
【正确答案】 ①. 90 ②. 5
【详解】【分析】根据∠A=60°，∠B=30°可得∠AEB=90°，根据AB=10cm以及直角三角形的性质可得AE=5cm，根据三角形全等可得：AD=AE=5cm，∠ADC=∠AEB=90°.
【详解】在三角形ABE中，∠A=60°，∠B=30°
所以，∠AEB=180-∠A-∠B= 90°,
因为，AB=10cm
所以，AE==5cm，
因为，△ABE≌△ACD，
所以，AD=AE=5cm，∠ADC=∠AEB=90°.
故答案为(1). 90 (2). 5
本题考核知识点：全等三角形的性质. 解题关键点：熟记全等三角形的性质，证角相等和边相等.
12. 已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x之间的函数表达式为y＝20－2x，则自变量x的取值范围是__________．
【正确答案】5＜x＜10
【详解】【分析】根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可．即：2x>y,x-x
y=-2x+20，-2x+20>0，
∴x＜10，
∵两边之和大于第三边,即：2x>-2x+20
∴x＞5，
则x的取值范围是：5＜x＜10，
故答案为5＜x＜10，
考查了根据实际问题列函数解析式以及等腰三角形的性质和三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．
13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【正确答案】B
【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D
∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝
又∵∠B=30°，BE=2
∴∠ECD=30°，CE=2，DE==1
又∵CE平分∠ACB
∴∠ECD＝∠ACE＝30°
∴∠ACB＝60°
又∵在△ABC中，∠B=30°
∴∠BAC＝90°
在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°
∴AE＝＝1；
故选B．
14. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水没有出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中的水量在减少；③若12分钟后只放水，没有进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，则需要24分钟可以将容器灌满．其中正确的有________(填序号)．
【正确答案】①③④
【详解】【分析】根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．
【详解】①每分钟进水=5升，则命题正确；
②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则命题错误；
③每分钟放水5-=5-1.25=3.75(升)，
则放完水需要=8（分钟），故命题正确；
④同时打开进水管和放水管，需要时间：=24（分钟），命题正确．
故答案为①③④
本题考查了函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
【正确答案】50°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
考点：平行线的性质．
16. 如图，格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出顶点B1的坐标；
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
【正确答案】(1)△A1B1C1如图所示见解析， (0，－2)；(2)△A2B2C2如图所示见解析， (3，2)．
【详解】【分析】按要求画图，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得B1点的坐标．再根据关于y轴对称规律：纵坐标没有变，横坐标符号反，得B2坐标.
【详解】(1)△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(0，－2)．
(2)△A2B2C2如图所示，点B2的坐标为(3，2)．
故答案为(1)△A1B1C1如图所示见解析， (0，－2)；(2)△A2B2C2如图所示见解析， (3，2)．
此题主要考查了平移变换，画出出平移后图形，再找出对应点位置是解题关键．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 已知函数的图象如图所示．
(1)求此函数的表达式；
(2)若点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值．
【正确答案】(1) y＝－2x＋2；(2) a＝2.
【详解】【分析】（1）用待定系数法求解析式即可.(2)把点(a，－2)代入所求解析式，求解即可.
【详解】(1)设此函数的表达式为y＝kx＋b，
由图可得函数的图象(1，0)，(0，2)两点，
则，解得，
∴此函数的表达式为y＝－2x＋2.
(2)将(a，－2)代入y＝－2x＋2中，得－2＝－2a＋2，解得a＝2.
故答案为(1) y＝－2x＋2；(2) a＝2.
本题考核知识点：函数的解析式. 解题关键点：熟记待定系数法求函数解析式的一般步骤.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
【正确答案】2
【详解】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为2.
本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）1125°．
【分析】根据同角的余角相等可得到条件，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
【详解】证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
20. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行，其进价和售价之间的关系如下表：
要使文具所获利润，且所获利润没有超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货，并求出其所获利润的值．
【正确答案】当A、B两种型号的文具各购进50只时，可获得利润，利润为500元．
【详解】【分析】设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出函数y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝－6x＋800.根据解析式解答即可．
【详解】设购进A型文具x只，则购进B型文具(100－x)只，所获利润为y元．
y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝－6x＋800.
由题意得－6x＋800≤40%[10x＋15(100－x)]，
解得x≥50.
∵y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y，
y＝－6×50＋800＝500.
故当A、B两种型号的文具各购进50只时，可获得利润，利润为500元．
本题考核知识点：函数的应用. 解题关键点：根据题意用x,y表示函数关系，根据函数的性质分析y与x的数量关系.
六、(本题满分12分)
21. 如图，在中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：．
（2）请你判断：与EF的大小关系，并加以证明．
【正确答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）证可得；
（2）根据全等得到，再根据三角形三边关系即可得到结果．
【详解】（1）∵BG∥AC，
∴，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，
，
∴，
∴；
（2），
由得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确分析求解．
七、(本题满分12分)
22. 如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【正确答案】(1)见解析；(2) 点O在∠BAC的平分线上，理由见解析.
【详解】【分析】(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再证∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD，则∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分线性质定理可证得.
【详解】(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC.
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由如下：连接AO.由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD.
∵OB＝OC，∴OE＝OD.
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
本题考核知识点等边三角形判定，角平分线. 解题关键点：证三角形全等得到对应边相等，从而得到等腰三角形，再证三角形是等边三角形；利用角平分线的性质定理推出必要条件.
八、(本题满分14分)
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；
(2)在满足问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(没有必证明)；
(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．
【正确答案】（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明见解析；（2）有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，证明见解析.
【详解】试题分析:(1)因为当△BED和△CFD时,DE=DF,所以当点D在BC中点时,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性质可得DE=DF,
(2)在(1)的结论下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,
利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3对全等三角形.
(3)连接AD,根据三角形面积公式即可求证.
（1）当点D在BC的中点上时,DE=DF,
证明:∵D为BC中点,
∴BD=CD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∵在△BED和CFD中,
∴△BED≌△CFD（AAS）,
∴DE=DF．
（2）
有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,
（3）CG=DE+DF,
证明:连接AD,
因为,
所以,
因为AB=AC,
所以.
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