高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题当堂达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题当堂达标检测题，共20页。试卷主要包含了已知直线经过抛物线，过点的直线与抛物线，已知直线与曲线等内容，欢迎下载使用。
【优质】4.2 直线与圆锥曲线的综合问题优选练习一．填空题1．设，若直线上存在一点满足，且的内心到轴的距离为，则___________.2．已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为________.3．已知直线经过抛物线:的焦点，与交于，两点，其中点在第四象限，若，则直线的斜率为______.4．过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是______.    
5．过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条．6．已知直线与曲线．当直线被曲线截得的线段长为时，直线方程是__________．7．已知直线和抛物线，若与有且只有一个公共点，则实数的值为_________．8．已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则_________.9．已知双曲线的左？右顶点为？，焦点在轴上的椭圆以？为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为______.10．已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，点，（为坐标原点）的面积为，线段的垂直平分线与轴相交于点.则的值为______.11．过点的直线交双曲线的两支于两点，已知，求的取值范围.12．过抛物线上一点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于，(异于点)两点，则直线恒过定点_______．13．如图，已知直线与椭圆相交于，两点，若直线分别与轴的负半轴，轴的正半轴相交于点，，且，则直线的斜率为______.14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，.若的面积为9，则=_________.15．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点. 若，则的面积为___________.16．曲线上的点到直线的距离的最大值是________．17．经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________．18．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A．B两点.其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为                      
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】由题意可得点为直线与椭圆的交点,直线方程与椭圆方程联立可得，由的内心到轴的距离为，即的内切圆的半径，由等面积法可求出参数的值.详解：点满足,则点在椭圆上.由题意可得点为直线与椭圆的交点.联立与，消去得，则.因为的内心到轴的距离为，所以的内切圆的半径.所以的面积为，即，解得，又，则.【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.2．【答案】2个【解析】根据直线的方程，易得直线过定点，又因为定点在椭圆上，且，则直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交.【详解】因为直线方程为所以直线过定点，定点在椭圆上，又因为，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点为2个.故答案为：2个【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．【答案】【解析】根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．详解：依题意，抛物线的焦点设直线的方程为由得，设，，，，且，即，，解得或或又，所以，，得解得：，结合图象得.故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力.4．【答案】8【解析】根据直线过点,设出直线的方程.联立抛物线后可表示出．两点的纵坐标,利用可表示出点的纵坐标.由三角形面积公式可表示出与的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线过点设直线的方程为则,化简可得因为有两个不同交点,则,解得或不妨设,则解方程可得因为,则所以所以则 ,()令则令解得当时, ,所以在内单调递减当时, ,所以在内单调递增即当时取得最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题. 5．【答案】3【解析】分当直线的斜率不存在和当直线的斜率存在时，两种情况讨论求解.详解：当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点，当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，消去y得：，当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条故答案为：3【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．【答案】或【解析】联立直线与曲线方程，利用韦达定理以及弦长公式列方程，解得，即得结果.详解：将直线代入曲线得因此直线被曲线截得的线段长为因为直线被曲线截得的线段长为，所以，（负值舍去），满足，从而直线方程是或故答案为：或【点睛】本题考查直线与曲线弦长问题，考查基本分析求解能力，属基础题.7．【答案】0或【解析】当斜率 时，直线平行于轴，与抛物线仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把代入抛物线的方程化简，由判别式求得实数的值．详解：解：当斜率 时，直线平行于轴，与抛物线仅有一个公共点．当斜率不等于0时，把代入抛物线得  ，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式，，故答案为：0或．【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程有唯一解的条件，体现了分类讨论的数学思想．8．【答案】【解析】设，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式可以求出.详解：设，由消去y并化简得，所以,由，得，所以，所以，即，化简得，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，属于基础题.9．【答案】【解析】首先由已知求得椭圆方程，设，利用中点坐标公式表示，将两点坐标分别代入椭圆和双曲线方程，求得的值，并表示斜率.详解：对于椭圆，显然，，所以椭圆方程为，设，则由得.因为点在双曲线上，点在椭圆上，所以，，解得，，，所以 ,故直线的斜率.故答案为：【点睛】本题考查椭圆，双曲线方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，点与椭圆和双曲线的位置关系，属于基础题型.10．【答案】2【解析】依题可设直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立可求出弦的中点坐标以及弦长，再由点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，列式可求出与的关系，然后求出线段的垂直平分线方程，即可得到点的坐标以及的值．详解：设直线的方程为，，由可得，，∴，即有．∴，．又点到直线的距离为，所以，解得．因为线段的垂直平分线方程为，令，解得．所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，以及弦长的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．11．【答案】试题分析：分析可设直线方程，与双曲线方程联立，由分别位于不同的两支得，再利用向量垂直坐标表示转化条件，结合韦达定理化简可得，最后综合双曲线方程隐含条件解得结果.详解：因为双曲线，所以由题意可知，直线不可能与轴垂直，因此，可设直线的方程为，并代入双曲线方程，得.①设点两点的坐标分别为.因为分别位于不同的两支，.②又，即.，即，并代入②式，得，即..则②式必成立.，.【点睛】对于直线与曲线的关系的问题，一般要根据题意作出相关的图像，然后设出适当的直线方程的形式；针对两条直线垂直的条件，最好的处理方法是向量的数量积为零；对于题设所给出的条件，要把它转化为数学表达式.【解析】12．【答案】(，)【解析】设AP：与抛物线C：联立，由根与系数的关系求得P(()2，)，和Q(，)，得直线PQ：．进而可判定，得到答案.详解：由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，设AP：，与抛物线C：联立，消去x，得，由根与系数的关系可得，，即P(()2，)，同理可得Q(，)，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ：．通过对比可知，， 满足条件，即直线PQ恒过定点(，)．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线过定点问题，其中解答中设出的方程与抛物线方程联立方程组，确定出点的坐标，得到的直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.13．【答案】【解析】作轴，轴，设，，由三角形全等可得；由平行线分线段成比例可得，将代入椭圆方程可求得，进而得到坐标，利用两点连线斜率公式求得结果.【详解】过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点设，，，    ≌，则又    ，则，将两点代入椭圆方程，得到，解得：，则故答案为：【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，考查了直线与椭圆交点的求解问题；关键是能够通过待定系数法得到交点坐标，根据交点在椭圆上构造方程组求得交点坐标，进而得到直线斜率.14．【答案】3【解析】因本题为选择题，故可直接根据焦点三角形的面积公式，代值计算，即可容易求得结果.详解：由题可知，由椭圆焦点三角形面积公式：，.故答案为：3.【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的求解，作为选择题和填空题，可直接套用二级结论进行求解即可.属基础题. 15．【答案】【解析】设出直线的方程，再与抛物线的方程联立，由抛物线的定义可得答案.详解：易知直线的斜率存在，设为，由得，∴，又∵，∴，∴或则.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.16．【答案】【解析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可.详解：解：曲线表示的方程等价于以下方程， ，画出图象有：故是双曲线与渐近线方程，所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的距离.设直线与曲线相切，联立方程组，化简得：，令，解得.所以切线为：，故两平行线与之间的距离为.所以曲线上的点到直线的距离的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.17．【答案】2【解析】由已知条件写出直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理及，即可求得结果.详解：根据题意可以得过焦点的倾斜角为直线方程为,设，联立 可得：的中点的横坐标为7，,计算得出: ,故答案为:2.【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，考查中点问题，考查韦达定理的应用，属于基础题.18．【答案】【解析】由可求得焦点坐标，因为倾角60o，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此.【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式．